Cho elip (E) có phương trình x29+y24=1.
a) Tìm tịa độ các tiêu điểm, các đỉnh; tính tâm sai và vẽ elip (E).
b) Xác định m để đường thẳng d:y=x+m và (E) có điểm chung.
c) Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua M(1;1) và cắt (E) tại hai điểm A,B sao cho M là trung điểm của đoạn thẳng AB.
a) a2=9⇒a=3, b2=4⇒b=2, c2=a2−b2=5⇒c=√5.
Các tiêu điểm : F1(−√5;0),F2(√5;0).
Các đỉnh: (±3;0),(0;±2).
Tâm sai : e=√53.
Elip được vẽ như hình 112.
b) Hoành độ giao điểm của d và (E) là nghiệm của phương trình:
x29+(x+m)24=1
⇔13x2+18mx+9m2−36=0(1)
Advertisements (Quảng cáo)
D và (E) có điểm chung khi và chỉ khi (1) có nghiệm \Leftrightarrow \Delta ‘ \ge 0
\Leftrightarrow 81{m^2} - 13(9{m^2} - 36) \ge 0
\Leftrightarrow {m^2} \le 13 \Leftrightarrow - \sqrt {13} \le m \le \sqrt {13} .
Vậy với - \sqrt {13} \le m \le \sqrt {13} thì d và (E) có điểm chung.
c) (h.112). Đường thẳng \Delta đi qua M, với vec tơ chỉ phương \overrightarrow u (a ; b) có dạng:
\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + at\\y = 1 + bt\end{array} \right. \,\,\,\,\,({a^2} + {b^2} \ne 0)
A, B \in \Delta \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} = 1 + a{t_1}\\{y_A} = 1 + b{t_1}\end{array} \right. và \left\{ \begin{array}{l}{x_B} = 1 + a{t_2}\\{y_B} = 1 + b{t_2}\end{array} \right..
M là trung điểm của AB khi và chỉ khi \left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_B} = 2{x_M}\\{y_A} + {y_B} = 2{y_M}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a({t_1} + {t_2}) = 0\\b({t_1} + {t_2}) = 0\end{array} \right.
\Leftrightarrow {t_1} + {t_2} = 0 (1) (do {a^2} + {b^2} \ne 0).
A, B \in (E) suy ra {t_1}, {t_2} là nghiệm của phương trình:
\begin{array}{l}4{(at + 1)^2} + 9{(bt + 1)^2} = 36 \\ \Leftrightarrow (4 {a^2} + 9{b^2}){t^2} + (8a + 18b)t - 23 = 0.\\{t_1} + {t_2} = 0 \\ \Rightarrow 8a + 18b = 0 \\ \Leftrightarrow 4a + 9b = 0.\end{array}
Chọn a=9, b=-4, ta được phương trình của \Delta : \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 9t\\y = 1 - 4t\end{array} \right. hay 4x + 9y - 13 = 0.