Bài 89 trang 118 SBT Hình học 10 Nâng cao: (h.121)....

Cho parabol $(P): {y^2} = 2px  (p > 0)$ và đường thẳng $\Delta$ đi qua tiêu điểm $F$ của $(P)$ và cắt $(P)$ tại hai điểm $M$ và $N$. Gọi $\alpha  = \left( {\overrightarrow i  , \overrightarrow {FM} } \right) (0 < \alpha  < \pi )$.

a) Tính $FM, FN$ theo $p$ và $\alpha$.

b) Chứng minh rằng khi $\Delta$ quay quanh $F$ thì $\dfrac{1}{{FM}} +  \dfrac{1}{{FN}}$ không đổi.

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của tích $FM.FN$ khi $\alpha$ thay đổi.

(h.121).

Gọi $H, M’$ thứ tự là hình chiếu của $M$ trên $Ox$ và đường chuẩn $d$ cả parabol $(P)$, còn $I$ là giao điểm của $Ox$ và $d$. Ta có

$\begin{array}{l}MF = MM’ = IH.\\\overline {IH}  = \overline {IF}  + \overline {FH}\\     \Rightarrow    IH = p + \overrightarrow {FM} .\overrightarrow i \\= p + MF\cos \alpha \\ \Rightarrow   MF =  \dfrac{p}{{1 - \cos \alpha }}.\end{array}$

Do $\left( {\overrightarrow {FN} , \overrightarrow i } \right) = {180^0} - \alpha$ nên tương tự như trên ta cũng có

$NF =  \dfrac{p}{{1 - \cos ({{180}^0} - \alpha )}}$

$=  \dfrac{p}{{1 + \cos \alpha }}$

b) $\dfrac{1}{{FM}} +  \dfrac{1}{{FN}}$

$=  \dfrac{{1 - \cos \alpha }}{p} +  \dfrac{{1 + \cos \alpha }}{p}$

$=  \dfrac{2}{p}$ không đổi.

c) $FM.FN$

$=  \dfrac{p}{{1 - \cos \alpha }}. \dfrac{p}{{1 + \cos \alpha }}$

$=  \dfrac{{{p^2}}}{{1 - {{\cos }^2}\alpha }}$

$=  \dfrac{{{p^2}}}{{{{\sin }^2}\alpha }}$

$FM.FN$ có giá trị nhỏ nhất $\Leftrightarrow     {\sin ^2}\alpha$ lớn  nhất $\Leftrightarrow \sin \alpha  = 1   \Leftrightarrow \Delta  \bot Ox$.