Advertisements (Quảng cáo)
Cho parabol \((P): {y^2} = 2px (p > 0)\) và đường thẳng \(\Delta \) đi qua tiêu điểm \(F\) của \((P)\) và cắt \((P)\) tại hai điểm \(M\) và \(N\). Gọi \(\alpha = \left( {\overrightarrow i , \overrightarrow {FM} } \right) (0 < \alpha < \pi )\).
a) Tính \(FM, FN\) theo \(p\) và \(\alpha \).
b) Chứng minh rằng khi \(\Delta \) quay quanh \(F\) thì \( \dfrac{1}{{FM}} + \dfrac{1}{{FN}}\) không đổi.
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của tích \(FM.FN\) khi \(\alpha \) thay đổi.
(h.121).
Gọi \(H, M’\) thứ tự là hình chiếu của \(M\) trên \(Ox\) và đường chuẩn \(d\) cả parabol \((P)\), còn \(I\) là giao điểm của \(Ox\) và \(d\). Ta có
\(\begin{array}{l}MF = MM’ = IH.\\\overline {IH} = \overline {IF} + \overline {FH}\\ \Rightarrow IH = p + \overrightarrow {FM} .\overrightarrow i \\= p + MF\cos \alpha \\ \Rightarrow MF = \dfrac{p}{{1 – \cos \alpha }}.\end{array}\)
Do \(\left( {\overrightarrow {FN} , \overrightarrow i } \right) = {180^0} – \alpha \) nên tương tự như trên ta cũng có
\(NF = \dfrac{p}{{1 – \cos ({{180}^0} – \alpha )}}\)
Advertisements (Quảng cáo)
\(= \dfrac{p}{{1 + \cos \alpha }}\)
b) \( \dfrac{1}{{FM}} + \dfrac{1}{{FN}} \)
\(= \dfrac{{1 – \cos \alpha }}{p} + \dfrac{{1 + \cos \alpha }}{p}\)
\(= \dfrac{2}{p}\) không đổi.
c) \(FM.FN \)
\(= \dfrac{p}{{1 – \cos \alpha }}. \dfrac{p}{{1 + \cos \alpha }}\)
\(= \dfrac{{{p^2}}}{{1 – {{\cos }^2}\alpha }} \)
\(= \dfrac{{{p^2}}}{{{{\sin }^2}\alpha }}\)
\(FM.FN\) có giá trị nhỏ nhất \( \Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha \) lớn nhất \( \Leftrightarrow \sin \alpha = 1 \Leftrightarrow \Delta \bot Ox\).