Bài 92 trang 119 SBT Hình 10 nâng cao: (h.124)....

Qua một điểm $A$ cố định trên trục đối xứng của parabol $(P)$, ta vẽ một đường thẳng cắt $(P)$ tại hai điểm $M$ và $N$. Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ $M$ và $N$ tới trục đối xứng của $(P)$ là hằng số.

(h.124).

Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ thích hợp sao cho parabol $(P)$ có phương trình : ${y^2} = 2px   (p > 0)$ và $A(a ; 0)$. Đường thẳng $\Delta$ đi qua $A$ có phương trình : $\alpha (x - a) + \beta y = 0    ({\alpha ^2} + {\beta ^2} \ne 0)$.

Khi đó tung độ các giao điểm của đường thẳng $\Delta$ và (P) là nghiệm của phương trình:

$\begin{array}{l}\alpha . \dfrac{{{y^2}}}{{2p}} + \beta y - \alpha a = 0\\ \Leftrightarrow  \alpha {y^2} + 2p\beta y - 2p\alpha a = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\end{array}$

Rõ ràng $\alpha  \ne 0$, vì nếu $\alpha  = 0$ thì đường thẳng $\Delta$ trùng với trục hoành và chỉ cắt $(P)$ tại một điểm.

Do đó $|{y_M}|.|{y_N}| = |{y_M}.{y_N}|$

$= \left| { -  \dfrac{{2p\alpha a}}{\alpha }} \right| = 2p|a|$.