Bài 91 trang 118 Sách bài tập Toán Nâng cao Hình 10: (h.123)....

Cho parabol $(P): {y^2} = x$ và hai điểm $A(1 ; -1), B(9 ; 3)$ nằm trên $(P)$. Gọi $M$ là điểm thuộc cung $AB$ của $(P)$ (phần của $(P)$ bị chắn bởi dây $AB$). Xác định vị trí của $M$ trên cung $AB$ sao cho tam giác $MAB$ có diện tích lớn  nhất.

(h.123).

Phương trình đường thẳng $AB: x-2y-3=0.$

Vì $M(x ; y)$ nằm trên cung $AB$ của $(P)$ nên $- 1 \le y \le 3$.Ta có: $\begin{array}{l}{S_{MAB}} =  \dfrac{1}{2}AB.d(M ; AB)\\            =     \dfrac{1}{2}.\sqrt {{{(9 - 1)}^2} + {{(3 + 1)}^2}} . \dfrac{{|x - 2y - 3|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2}} }}\\            = 2.|x - 2y - 3| = 2|{y^2} - 2y - 3|\end{array}$

Ta có $f(y) = {y^2} - 2y - 3$

$= {(y - 1)^2} - 4 \ge  - 4$.

Suy ra $f(y)$ nhỏ nhất bằng $-4$ khi và chỉ khi $y=1$. Mặt khác, $f(-1)=f(3)=0$. Do đó trên đoạn $[-1 ; 3],$ hàm  số $|{y^2} - 2y - 3|$ lớn nhất bằng $4$ khi và chỉ khi $y=1$. Vậy $S_MAB$ lớn nhất bằng $8$ khi và chỉ khi $M=(1 ; 1).$