Advertisements (Quảng cáo)
Cho parabol \((P): {y^2} = x\) và hai điểm \(A(1 ; -1), B(9 ; 3)\) nằm trên \((P)\). Gọi \(M\) là điểm thuộc cung \(AB\) của \((P)\) (phần của \((P)\) bị chắn bởi dây \(AB\)). Xác định vị trí của \(M\) trên cung \(AB\) sao cho tam giác \(MAB\) có diện tích lớn nhất.
(h.123).
Phương trình đường thẳng \(AB: x-2y-3=0.\)
Vì \(M(x ; y)\) nằm trên cung \(AB\) của \((P)\) nên \( – 1 \le y \le 3\).Ta có: \(\begin{array}{l}{S_{MAB}} = \dfrac{1}{2}AB.d(M ; AB)\\ = \dfrac{1}{2}.\sqrt {{{(9 – 1)}^2} + {{(3 + 1)}^2}} . \dfrac{{|x – 2y – 3|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2}} }}\\ = 2.|x – 2y – 3| = 2|{y^2} – 2y – 3|\end{array}\)
Advertisements (Quảng cáo)
Ta có \(f(y) = {y^2} – 2y – 3 \)
\(= {(y – 1)^2} – 4 \ge – 4\).
Suy ra \(f(y)\) nhỏ nhất bằng \(-4\) khi và chỉ khi \(y=1\). Mặt khác, \(f(-1)=f(3)=0\). Do đó trên đoạn \([-1 ; 3],\) hàm số \(|{y^2} – 2y – 3|\) lớn nhất bằng \(4\) khi và chỉ khi \(y=1\). Vậy \(S_MAB\) lớn nhất bằng \(8\) khi và chỉ khi \(M=(1 ; 1).\)