Câu 1.20 trang 10 Sách BT Đại số 10 Nâng cao: Sử đụng thuật ngữ “điều kiện cần và đủ”, phát biểu và chứng minh các định lí dưới đây:...

Cho các mệnh đề chứa biến $P(n)$ : “$n$ chia hết cho 5” ; $Q(n)$ : “${n^2}$  chia hết cho 5” và $R(n)$ : ${n^2} + 1$ và ${n^2} - 1$ đều không chia hết cho 5”

Sử đụng thuật ngữ “điều kiện cần và đủ”, phát biểu và chứng minh các định lí dưới đây:

a. $\forall n \in N,P\left( n \right) \Leftrightarrow Q\left( n \right)$  

b. $\forall n \in N,P\left( n \right) \Leftrightarrow Q\left( n \right)$  

a. Phát biểu như sau : “Điều kiện cần và đủ để số tự nhiên $n$ chia hết cho 5 là ${n^2}$  chia hết cho 5”

Chứng minh : Nếu $n = 5k\left( {k \in N} \right)$  thì ${n^2} = 25{k^2}$  chia hết cho 5. Ngược lại, giả sử $n = 5k + r$ với $r = 0, 1, 2, 3, 4$. Khi đó ${n^2} = 25{k^2} + 10kr + {r^2}$  chia hết cho 5 nên ${r^2}$  phải chia hết cho 5. Thử vào với $r = 0, 1, 2, 3, 4$, ta thấy chỉ có với $r = 0$ thì ${r^2}$  mới chia hết cho 5. Do đó $n = 5k$ tức là n chia hết cho 5.

b. Phát biểu như sau : “Điều kiện cần và đủ để số tự nhiên n chia hết cho 5 là cả ${n^2} - 1\,va\,{n^2} + 1$  đều không chia hết cho 5”.

Chứng minh. Nếu n chia hết cho 5 thì ${n^2} - 1$  chia cho 5 dư 4 và ${n^2} + 1$  chia 5 dư 1. Đảo lại, giả sử ${n^2} - 1$ và ${n^2} + 1$  đều không chia hết cho 5. Gọi $r$ là số dư khi chia $n$ cho 5 ($r = 0, 1, 2, 3, 4$). Ta có $n = 5k + r\left( {k \in N} \right)$. Vì ${n^2} = 25{k^2} + 10kr + {r^2}$  nên suy ra cả ${r^2} - 1$ và ${r^2} + 1$  đều không chia hết cho 5. Với $r = 1$ thì ${r^2} - 1 = 0$  chia hết cho 5. Với $r = 2$ thì ${r^2} + 1 = 5$  chia hết cho 5. Với $r = 3$ thì ${r^2} + 1 = 10$  chia hết cho 5. Với $r = 4$ thì ${r^2} - 1 = 15$  chia hết cho 5. Vậy chỉ có thể $r = 0$ tức là $n = 5k$ hay $n$ chia hết cho 5.