Cho các mệnh đề chứa biến \(P(n)\) : “\(n\) chia hết cho 5” ; \(Q(n)\) : “\({n^2}\) chia hết cho 5” và \(R(n)\) : \({n^2} + 1\) và \({n^2} - 1\) đều không chia hết cho 5”
Sử đụng thuật ngữ “điều kiện cần và đủ”, phát biểu và chứng minh các định lí dưới đây:
a. \(\forall n \in N,P\left( n \right) \Leftrightarrow Q\left( n \right)\)
b. \(\forall n \in N,P\left( n \right) \Leftrightarrow Q\left( n \right)\)
Advertisements (Quảng cáo)
a. Phát biểu như sau : “Điều kiện cần và đủ để số tự nhiên \(n\) chia hết cho 5 là \({n^2}\) chia hết cho 5”
Chứng minh : Nếu \(n = 5k\left( {k \in N} \right)\) thì \({n^2} = 25{k^2}\) chia hết cho 5. Ngược lại, giả sử \(n = 5k + r\) với \(r = 0, 1, 2, 3, 4\). Khi đó \({n^2} = 25{k^2} + 10kr + {r^2}\) chia hết cho 5 nên \({r^2}\) phải chia hết cho 5. Thử vào với \(r = 0, 1, 2, 3, 4\), ta thấy chỉ có với \(r = 0\) thì \({r^2}\) mới chia hết cho 5. Do đó \(n = 5k\) tức là n chia hết cho 5.
b. Phát biểu như sau : “Điều kiện cần và đủ để số tự nhiên n chia hết cho 5 là cả \({n^2} - 1\,va\,{n^2} + 1\) đều không chia hết cho 5”.
Chứng minh. Nếu n chia hết cho 5 thì \({n^2} - 1\) chia cho 5 dư 4 và \({n^2} + 1\) chia 5 dư 1. Đảo lại, giả sử \({n^2} - 1\) và \({n^2} + 1\) đều không chia hết cho 5. Gọi \(r\) là số dư khi chia \(n\) cho 5 (\(r = 0, 1, 2, 3, 4\)). Ta có \(n = 5k + r\left( {k \in N} \right)\). Vì \({n^2} = 25{k^2} + 10kr + {r^2}\) nên suy ra cả \({r^2} - 1\) và \({r^2} + 1\) đều không chia hết cho 5. Với \(r = 1\) thì \({r^2} - 1 = 0\) chia hết cho 5. Với \(r = 2\) thì \({r^2} + 1 = 5\) chia hết cho 5. Với \(r = 3\) thì \({r^2} + 1 = 10\) chia hết cho 5. Với \(r = 4\) thì \({r^2} - 1 = 15\) chia hết cho 5. Vậy chỉ có thể \(r = 0\) tức là \(n = 5k\) hay \(n\) chia hết cho 5.