Câu 1.19 trang 10 SBT Đại số 10 Nâng cao: Bài 2. Áp dụng mệnh đề vào suy luận toán học...

Cho các mệnh đề chứa biến $P(n)$ : “n là số chẵn” và $Q(n)$ : “$7n + 4$ là số chẵn”.

a. Phát biểu và chứng minh định lí $\forall n \in N,P\left( n \right) \Rightarrow Q\left( n \right)$

b. Phát biểu và chứng minh định lí đảo của định lí trên.

c. Phát biểu gộp định lí thuận và đảo bằng hai cách.

a. Phát biểu : “Với mọi số tự nhiên $n$, nếu $n$ chẵn thì $7n + 4$ là số chẵn”

Chứng minh. Nếu $n$ chẵn thì $7n$ chẵn. Suy ra $7n + 4$ chẵn vì tổng hai số chẵn là số chẵn.

b. Định lí đảo : "$\forall n \in N,P\left( n \right) \Rightarrow Q\left( n \right)$ tức là “Với mọi số tự nhiên $n$, nếu $7n  + 4$ là số chẵn thì $n$ chẵn”.

Chứng minh. Nếu $7n + 4 = m$ chẵn thì $7n = m – 4$ chẵn. Vậy $7n$ chẵn nên $n$ chẵn.

c. Phát biểu gộp hai định lí thuận và đảo như sau : “Với mọi số tự nhiên $n$, $n$ chẵn khi và chỉ khi $7n + 4$ chẵn” hoặc “Với mọi số tự nhiên $n$, $n$ chẵn nếu và chỉ nếu $7n + 4$ chẵn”.