Câu 1.18 trang 9 SBT Toán Đại 10 Nâng cao: Phát biểu và chứng minh các định lí sau:...

Phát biểu và chứng minh các định lí sau:

a. $\forall n \in N,{n^2}$ chia hết cho 3 ⇒ n chia hết cho 3 (gợi ý : Chứng minh bằng phản ứng).

b. $\forall n \in N,{n^2}$  chia hết cho 6 ⇒ n chia hết cho 6.

a. “Nếu n là số tự nhiên sao cho ${n^2}$  chia hết cho 3 thì n cũng chia hết cho 3”. Ta chứng minh bằng phản chứng. Giả sử tồn tại $n \in N$ để ${n^2}$  chia hết cho 3 nhưng n không chia hết cho 3. Nếu $n = 3k + 1\left( {k \in N} \right)$  thì ${n^2} = 3k\left( {3k + 2} \right) + 1$  không chia hết cho 3. Nếu $n = 3k - 1\left( {k \in N^*} \right)$ thì ${n^2} = 3k\left( {3k - 2} \right) + 1$  không chia hết cho 3.

b. “Nếu n là số tự nhiên sao cho ${n^2}$  chia hết cho 6 thì n cũng chia hết cho 6”

Thật vậy nếu ${n^2}$  chia hết cho 6 thì ${n^2}$  là số chẵn, do đó n là số chẵn, tức là n chia hết cho 2. Vì ${n^2}$  chia hết cho 6 nên nó chia hết cho 3. Theo câu a điều này kéo theo n chia hết cho 3. Vì n chia hết cho 2 và 3 nên n chia hết cho 6.