Câu 1.50 trang 14 SBT Đại số 10 Nâng cao: Vậy...

Giả sử x là một giá trị gần đúng của $\sqrt 5$ . Xét số $a = {{2x + 5} \over {x + 2}}.$  Chứng minh rằng

$\left| {a - \sqrt 5 } \right| < \left| {x - \sqrt 5 } \right|,$  

Tức là nếu lấy a là giá trị gần đúng của $\sqrt 5$ thì ta được độ chính xác cao hơn là lấy $x$.

Đặt $u = x - \sqrt 5$ và $v = a - \sqrt 5 .$  Ta có:

$v = a - \sqrt 5  = {{2x + 5 - x\sqrt 5  - 2\sqrt 5 } \over {x + 2}}$

$= {{\left( {2 - \sqrt 5 } \right)\left( {x - \sqrt 5 } \right)} \over {x + 2}} = {{\left( {2 - \sqrt 5 } \right)u} \over {x + 2}}.$  

Vậy

$\left| {a - \sqrt 5 } \right| = \left| v \right|$

$= \left| u \right|{{\sqrt 5  - 2} \over {x + 2}} < {{\sqrt 5  - 2} \over 2}\left| u \right| < \left| u \right|$

$= \left| {x - \sqrt 5 } \right|$