Cho A và B là hai tập hợp hữu hạn. Kí hiệu |A| là số phần tử của tập hợp A.
a. Chứng minh rằng nếu \(A \cap B = \emptyset \) thì \(\left| {A \cup B} \right| = \left| A \right| + \left| B \right|\)
b. Chứng minh rằng \(B \cup \left( {A\backslash B} \right) = A \cup B\) và \(B \cap \left( {A\backslash B} \right) = \emptyset \)
c. Chứng minh rằng \(A = \left( {A \cap B} \right) \cup \left( {A\backslash B} \right)\)
d. Từ đó suy ra công thức sau
\(\left| {A \cup B} \right| = \left| A \right| + \left| B \right| - \left| {A \cap B} \right|\)
a. Hiển nhiên.
b. Dễ thấy bằng cách vẽ sơ đồ Ven.
Advertisements (Quảng cáo)
c. Dễ thấy bằng cách vẽ sơ đồ Ven.
d. Ta có \(\left| {A \cup B} \right| = \left| B \right| + \left| {A\backslash B} \right|,\) (do câu a và b) (1)
Lại có \(A = \left( {A\backslash B} \right) \cup \left( {A \cap B} \right)\) (do c)) thành thử
\(\left| A \right| = \left| {A\backslash B} \right| + \left| {A \cap B} \right|\)
Vậy
\(\left| {A\backslash B} \right| = \left| A \right| - \left| {A \cap B} \right|\) (2)
Thay (2) vào (1) ta được
\(\left| {A \cup B} \right| = \left| A \right| + \left| B \right| - \left| {A \cap B} \right|\)