Câu 1.47 trang 13 Sách BT Đại số 10 Nâng cao: Vậy...

Cho A và B là hai tập hợp hữu hạn. Kí hiệu |A| là số phần tử của tập hợp A.

a. Chứng minh rằng nếu $A \cap B = \emptyset$ thì $\left| {A \cup B} \right| = \left| A \right| + \left| B \right|$

b. Chứng minh rằng $B \cup \left( {A\backslash B} \right) = A \cup B$ và $B \cap \left( {A\backslash B} \right) = \emptyset$

c. Chứng minh rằng $A = \left( {A \cap B} \right) \cup \left( {A\backslash B} \right)$

d. Từ đó suy ra công thức sau

$\left| {A \cup B} \right| = \left| A \right| + \left| B \right| - \left| {A \cap B} \right|$

a. Hiển nhiên.

b. Dễ thấy bằng cách vẽ sơ đồ Ven.

c. Dễ thấy bằng cách vẽ sơ đồ Ven.

d. Ta có $\left| {A \cup B} \right| = \left| B \right| + \left| {A\backslash B} \right|,$  (do câu a và b)      (1)

Lại có $A = \left( {A\backslash B} \right) \cup \left( {A \cap B} \right)$ (do c)) thành thử

$\left| A \right| = \left| {A\backslash B} \right| + \left| {A \cap B} \right|$

Vậy

$\left| {A\backslash B} \right| = \left| A \right| - \left| {A \cap B} \right|$              (2)

Thay (2) vào (1) ta được

$\left| {A \cup B} \right| = \left| A \right| + \left| B \right| - \left| {A \cap B} \right|$