Advertisements (Quảng cáo)
Giải các bất phương trình sau :
a. \(\left| {\dfrac{{3x + 1}}{{x – 3}}} \right| < 3\)
b. \(\dfrac{{\left| {x + 2} \right| – \left| x \right|}}{{\sqrt {4 – {x^3}} }} > 0\)
c. \(\dfrac{3}{{\left| {x + 3} \right| – 1}} \ge \left| {x + 2} \right|\)
d. \(\dfrac{9}{{\left| {x – 5} \right| – 3}} \ge \left| {x – 2} \right|\)
:
a. \(x < \dfrac{4}{3}.\)
b. \(x \in \left( { – 1;\sqrt[3]{4}} \right).\)
c. Điều kiện \(\left| {x + 3} \right| \ne 1 \Leftrightarrow x + 3 \ne 1\) và \(x + 3 \ne – 1\) hay \(x \ne – 2\) và \(x \ne – 4.\)
* Nếu \(x < -3\), bất phương trình đã cho tương đương với
\(\eqalign{& {3 \over { – x – 3 – 1}} \ge – x – 2 \cr & \Leftrightarrow {3 \over {x + 4}} \le x + 2 \cr & \Leftrightarrow {3 \over {x + 4}} – \left( {x + 2} \right) \le 0 \cr & \Leftrightarrow {{3 – \left( {{x^2} + 6x + 8} \right)} \over {x + 4}} \le 0 \cr & \Leftrightarrow {{ – {x^2} – 6x – 5} \over {x + 4}} \le 0 \cr & \Leftrightarrow {{{x^2} + 6x + 5} \over {x + 4}} \ge 0 \cr & \Leftrightarrow x \in \left[ { – 5; – 4} \right). \cr} \)
* Nếu \(-3 ≤ x < -2\), bất phương trình đã cho tương đương với
\(\eqalign{& {3 \over {x + 2}} \ge – x – 2 \cr & \Leftrightarrow {3 \over {x + 2}} + x + 2 \ge 0 \cr & \Leftrightarrow {{3 + {{\left( {x + 2} \right)}^2}} \over {x + 2}} \ge 0 \cr & \Leftrightarrow x \ge – 2. \cr} \)
Không có x thỏa mãn yêu cầu điều kiện \(-3 ≤ x < -2.\)
* Nếu \(x > -2\), bất phương trình đã cho tương đương với
Advertisements (Quảng cáo)
\(\eqalign{& {3 \over {x + 2}} \ge x + 2 \cr & \Leftrightarrow {3 \over {x + 2}} – \left( {x + 2} \right) \ge 0 \cr & \Leftrightarrow 3 – {\left( {x + 2} \right)^2} \ge 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {\sqrt 3 – x – 2} \right)\left( {\sqrt 3 + x + 2} \right) \ge 0 \cr & \Leftrightarrow – 2 – \sqrt 3 \le x \le 2 – \sqrt 3 . \cr} \)
Vậy \( – 2 < x \le 2 – \sqrt 3 .\)
Kết luận. \(x \in \left[ { – 5; – 4} \right) \cup \left( { – 2;2 – \sqrt 3 } \right].\)
d. Nếu \(x < 2\) bất phương trình đã cho tương đương với
\(\eqalign{& {9 \over {5 – x – 3}} \ge – x + 2 \cr & \Leftrightarrow {9 \over {2 – x}} + x – 2 \ge 0 \cr & \Leftrightarrow {{5 – {x^2} + 4x} \over {2 – x}} \ge 0 \cr & \Leftrightarrow x \le – 1. \cr} \)
Nếu \(2 ≤ x < 5\) bất phương trình đã cho tương đương với
\(\eqalign{& {9 \over {5 – x – 3}} \ge x – 2 \cr & \Leftrightarrow {9 \over {2 – x}} + 2 – x \ge 0 \cr & \Leftrightarrow {{9 + {{\left( {2 – x} \right)}^2}} \over {2 – x}} \ge 0 \cr} \)
Vậy \(2 < x < 5\).
Nếu \(x > 5\) bất phương trình đã cho tương đương
\(\eqalign{& {9 \over {x – 5 – 3}} \ge x – 2 \cr & \Leftrightarrow {9 \over {x – 8}} \ge x – 2 \cr & \Leftrightarrow {9 \over {x – 8}} – \left( {x – 2} \right) \ge 0 \cr & \Leftrightarrow {{9 – \left( {{x^2} – 10x + 16} \right)} \over {x – 8}} \ge 0 \cr & \Leftrightarrow {{ – {x^2} + 10x – 7} \over {x – 8}} \ge 0 \cr & \Leftrightarrow {{{x^2} – 10x + 7} \over {x – 8}} \le 0 \cr} \)
Vậy \(8 < x \le 5 + \sqrt {18} .\)
Kết luận \(x \in \left( { – \infty ; – 1} \right] \cup\)\( \left( {2;5} \right) \cup \left( {8;5 + \sqrt {18} } \right].\)