Câu 102 trang 119 SBT Toán Đại 10 Nâng cao: Bài tập Ôn tập chương IV - Bất đẳng thức và bất phương trình...

Giải các bất phương trình sau :

a. $\left| {\dfrac{{3x + 1}}{{x - 3}}} \right| < 3$

b. $\dfrac{{\left| {x + 2} \right| - \left| x \right|}}{{\sqrt {4 - {x^3}} }} > 0$

c. $\dfrac{3}{{\left| {x + 3} \right| - 1}} \ge \left| {x + 2} \right|$

d. $\dfrac{9}{{\left| {x - 5} \right| - 3}} \ge \left| {x - 2} \right|$

:

a. $x < \dfrac{4}{3}.$

b. $x \in \left( { - 1;\sqrt[3]{4}} \right).$

c. Điều kiện $\left| {x + 3} \right| \ne 1 \Leftrightarrow x + 3 \ne 1$ và $x + 3 \ne  - 1$ hay $x \ne  - 2$ và $x \ne  - 4.$

* Nếu $x < -3$, bất phương trình đã cho tương đương với

$\eqalign{& {3 \over { - x - 3 - 1}} \ge - x - 2 \cr & \Leftrightarrow {3 \over {x + 4}} \le x + 2 \cr & \Leftrightarrow {3 \over {x + 4}} - \left( {x + 2} \right) \le 0 \cr & \Leftrightarrow {{3 - \left( {{x^2} + 6x + 8} \right)} \over {x + 4}} \le 0 \cr & \Leftrightarrow {{ - {x^2} - 6x - 5} \over {x + 4}} \le 0 \cr & \Leftrightarrow {{{x^2} + 6x + 5} \over {x + 4}} \ge 0 \cr & \Leftrightarrow x \in \left[ { - 5; - 4} \right). \cr}$

* Nếu $-3 ≤ x < -2$, bất phương trình đã cho tương đương với

$\eqalign{& {3 \over {x + 2}} \ge - x - 2 \cr & \Leftrightarrow {3 \over {x + 2}} + x + 2 \ge 0 \cr & \Leftrightarrow {{3 + {{\left( {x + 2} \right)}^2}} \over {x + 2}} \ge 0 \cr & \Leftrightarrow x \ge - 2. \cr}$

Không có x thỏa mãn yêu cầu điều kiện $-3 ≤ x < -2.$

* Nếu $x > -2$, bất phương trình đã cho tương đương với

$\eqalign{& {3 \over {x + 2}} \ge x + 2 \cr & \Leftrightarrow {3 \over {x + 2}} - \left( {x + 2} \right) \ge 0 \cr & \Leftrightarrow 3 - {\left( {x + 2} \right)^2} \ge 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {\sqrt 3 - x - 2} \right)\left( {\sqrt 3 + x + 2} \right) \ge 0 \cr & \Leftrightarrow - 2 - \sqrt 3 \le x \le 2 - \sqrt 3 . \cr}$

Vậy $- 2 < x \le 2 - \sqrt 3 .$

Kết luận. $x \in \left[ { - 5; - 4} \right) \cup \left( { - 2;2 - \sqrt 3 } \right].$

d. Nếu $x < 2$ bất phương trình đã cho tương đương với

$\eqalign{& {9 \over {5 - x - 3}} \ge - x + 2 \cr & \Leftrightarrow {9 \over {2 - x}} + x - 2 \ge 0 \cr & \Leftrightarrow {{5 - {x^2} + 4x} \over {2 - x}} \ge 0 \cr & \Leftrightarrow x \le - 1. \cr}$

Nếu $2 ≤ x < 5$ bất phương trình đã cho tương đương với

$\eqalign{& {9 \over {5 - x - 3}} \ge x - 2 \cr & \Leftrightarrow {9 \over {2 - x}} + 2 - x \ge 0 \cr & \Leftrightarrow {{9 + {{\left( {2 - x} \right)}^2}} \over {2 - x}} \ge 0 \cr}$

Vậy $2 < x < 5$.

Nếu $x > 5$ bất phương trình đã cho tương đương

$\eqalign{& {9 \over {x - 5 - 3}} \ge x - 2 \cr & \Leftrightarrow {9 \over {x - 8}} \ge x - 2 \cr & \Leftrightarrow {9 \over {x - 8}} - \left( {x - 2} \right) \ge 0 \cr & \Leftrightarrow {{9 - \left( {{x^2} - 10x + 16} \right)} \over {x - 8}} \ge 0 \cr & \Leftrightarrow {{ - {x^2} + 10x - 7} \over {x - 8}} \ge 0 \cr & \Leftrightarrow {{{x^2} - 10x + 7} \over {x - 8}} \le 0 \cr}$

Vậy $8 < x \le 5 + \sqrt {18} .$

Kết luận $x \in \left( { - \infty ; - 1} \right] \cup$$\left( {2;5} \right) \cup \left( {8;5 + \sqrt {18} } \right].$