Câu 4.103 trang 119 Sách BT Đại số 10 Nâng cao: Vậy phương trình đã cho có nghiệm với mọi m....

Cho phương trình $\left( {m\sqrt 5 } \right){x^2} - 3mx + m + 1 = 0.$ Với các giá trị nào của m thì

a. Phương trình đã cho có nghiệm ?

b. Phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu nhau.

:

a. Với $m = \sqrt 5$ phương trình trở thành

$- 3\sqrt 5 x + \sqrt 5  + 1 = 0,$

Có nghiệm $x = \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{{3\sqrt 5 }}$

Với $m \ne \sqrt 5$ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi

$\Delta  = 9{m^2} - 4\left( {m + 1} \right)\left( {m - \sqrt 5 } \right) \ge 0$

$\Leftrightarrow 5{m^2} - 4\left( {1 - \sqrt 5 } \right)m + 4\sqrt 5  \ge 0,$ bất phương trình này nghiệm đúng với mọi m (vì $\Delta {‘_m} = 4{\left( {1 - \sqrt 5 } \right)^2} - 20\sqrt 5  < 0$ ).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm với mọi m.

b. $m \in \left( { - 1;\sqrt 5 } \right)$.