Advertisements (Quảng cáo)
Cho \(\sin \alpha + \cos \alpha = m\), hãy tính theo m
a) \(\sin \alpha \cos \alpha ;\)
b) \(\left| {\sin \alpha – \cos \alpha } \right|;\)
c) \({\sin ^3}\alpha + {\cos ^3}\alpha ;\)
d) \({\sin ^6}\alpha + {\cos ^6}\alpha \).
Cho \(\sin \alpha + \cos \alpha = m\), ta có:
a)
\(\begin{array}{l}\sin \alpha \cos \alpha = \dfrac{1}{2}\left[ {{{\left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right)}^2} – 1} \right]\\ = \dfrac{{{m^2} – 1}}{2}\end{array}\)
Advertisements (Quảng cáo)
b)
\(\begin{array}{l}{\left( {\sin \alpha – \cos \alpha } \right)^2} = 1 – 2\sin \alpha \cos \alpha \\ = 1 – \left( {{m^2} – 1} \right) = 2 – {m^2}\end{array}\)
Từ đó \(\left| {\sin \alpha – \cos \alpha } \right| = \sqrt {2 – {m^2}} \) (lập luận này cũng chứng tỏ rằng, nếu \(\sin \alpha + \cos \alpha = m\) thì \(2 – {m^2} \ge 0\), tức là ta luôn có \(\left| {\sin \alpha + \cos \alpha } \right| \le \sqrt 2 \) ; còn có thể suy ra bất đẳng thức này từ nhiều lập luận khác.)
c)
\(\begin{array}{l}{\sin ^3}\alpha + {\cos ^3}\alpha \\ = {\left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right)^3} – 3\sin \alpha \cos \alpha \left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right)\\ = {m^3} – 3\left( {\dfrac{{{m^2} – 1}}{2}} \right)m = \dfrac{{m\left( {3 – {m^2}} \right)}}{2}\end{array}\)
d)
\(\begin{array}{l}{\sin ^6}\alpha + {\cos ^6}\alpha \\ = {\left( {{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha } \right)^3} – 3{\sin ^2}\alpha {\cos ^2}\alpha \left( {{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha } \right)\\ = 1 – 3{\left( {\dfrac{{{m^2} – 1}}{2}} \right)^2} = \dfrac{{ – 3{m^4} + 6{m^2} + 1}}{4}\end{array}\)