Câu 6.30 trang 200 SBT Đại số 10 Nâng cao:...

Cho $\sin \alpha  + \cos \alpha  = m$, hãy tính theo m

a) $\sin \alpha \cos \alpha ;$

b) $\left| {\sin \alpha  - \cos \alpha } \right|;$

c) ${\sin ^3}\alpha  + {\cos ^3}\alpha ;$

d) ${\sin ^6}\alpha  + {\cos ^6}\alpha$.

Cho $\sin \alpha  + \cos \alpha  = m$, ta có:

a)

$\begin{array}{l}\sin \alpha \cos \alpha  = \dfrac{1}{2}\left[ {{{\left( {\sin \alpha  + \cos \alpha } \right)}^2} - 1} \right]\\ = \dfrac{{{m^2} - 1}}{2}\end{array}$

b)

 $\begin{array}{l}{\left( {\sin \alpha  - \cos \alpha } \right)^2} = 1 - 2\sin \alpha \cos \alpha \\ = 1 - \left( {{m^2} - 1} \right) = 2 - {m^2}\end{array}$

Từ đó $\left| {\sin \alpha  - \cos \alpha } \right| = \sqrt {2 - {m^2}}$ (lập luận này cũng chứng tỏ rằng, nếu $\sin \alpha  + \cos \alpha  = m$ thì $2 - {m^2} \ge 0$, tức là ta luôn có $\left| {\sin \alpha  + \cos \alpha } \right| \le \sqrt 2$ ; còn có thể suy ra bất đẳng thức này từ nhiều lập luận khác.)

c)

$\begin{array}{l}{\sin ^3}\alpha  + {\cos ^3}\alpha \\ = {\left( {\sin \alpha  + \cos \alpha } \right)^3} - 3\sin \alpha \cos \alpha \left( {\sin \alpha  + \cos \alpha } \right)\\ = {m^3} - 3\left( {\dfrac{{{m^2} - 1}}{2}} \right)m = \dfrac{{m\left( {3 - {m^2}} \right)}}{2}\end{array}$

d)

$\begin{array}{l}{\sin ^6}\alpha  + {\cos ^6}\alpha \\ = {\left( {{{\sin }^2}\alpha  + {{\cos }^2}\alpha } \right)^3} - 3{\sin ^2}\alpha {\cos ^2}\alpha \left( {{{\sin }^2}\alpha  + {{\cos }^2}\alpha } \right)\\ = 1 - 3{\left( {\dfrac{{{m^2} - 1}}{2}} \right)^2} = \dfrac{{ - 3{m^4} + 6{m^2} + 1}}{4}\end{array}$