Câu 6.35 trang 201 Sách BT Đại số 10 Nâng cao: Tính...

Tính

a) $\cos \dfrac{\pi }{9} + \cos \dfrac{{2\pi }}{9} +  \ldots  + \cos \dfrac{{8\pi }}{9};$

b) ${\sin ^2}\dfrac{\pi }{3} + {\sin ^2}\dfrac{\pi }{6} + {\sin ^2}\dfrac{\pi }{9} + {\sin ^2}\dfrac{{2\pi }}{9} + {\sin ^2}\dfrac{{5\pi }}{{18}} + {\sin ^2}\dfrac{{7\pi }}{{18}}$;

c) ${\cos ^2}\dfrac{\pi }{3} + {\cos ^2}\dfrac{{5\pi }}{6} + {\cos ^2}\dfrac{\pi }{9} + {\cos ^2}\dfrac{{11\pi }}{{18}} + {\cos ^2}\dfrac{{13\pi }}{{18}} + {\cos ^2}\dfrac{{2\pi }}{9}$;

d) $\cos \dfrac{\pi }{5} + \cos \dfrac{{2\pi }}{5} +  \ldots  + \cos \dfrac{{9\pi }}{5};$

e) $\sin \dfrac{\pi }{5} + \sin \dfrac{{2\pi }}{5} +  \ldots  + \sin \dfrac{{9\pi }}{5}$

a)

$\cos \dfrac{\pi }{9} + \cos \dfrac{{2\pi }}{9} +  \ldots  + \cos \dfrac{{8\pi }}{9} = 0$, do $\cos \left( {\pi  - \alpha } \right) =  - \cos \alpha .$

b) Do $\sin \dfrac{\pi }{3} = \sin \left( {\dfrac{\pi }{2} - \dfrac{\pi }{6}} \right) = \cos \dfrac{\pi }{6}$ nên ${\sin ^2}\dfrac{\pi }{3} + {\sin ^2}\dfrac{\pi }{6} = 1.$  

Do $\sin \dfrac{{7\pi }}{{18}} = \sin \left( {\dfrac{\pi }{2} - \dfrac{\pi }{9}} \right) = \cos \dfrac{\pi }{9}$ nên ${\sin ^2}\dfrac{{7\pi }}{{18}} + {\sin ^2}\dfrac{\pi }{9} = 1$.

Do $\sin \dfrac{{5\pi }}{{18}} = \sin \left( {\dfrac{\pi }{2} - \dfrac{{2\pi }}{9}} \right) = \cos \dfrac{{2\pi }}{9}$ nên ${\sin ^2}\dfrac{{2\pi }}{9} + {\sin ^2}\dfrac{{5\pi }}{{18}} = 1$.

Vậy ${\sin ^2}\dfrac{\pi }{3} + {\sin ^2}\dfrac{\pi }{6} + {\sin ^2}\dfrac{\pi }{9} + {\sin ^2}\dfrac{{2\pi }}{9} + {\sin ^2}\dfrac{{5\pi }}{{18}} + {\sin ^2}\dfrac{{7\pi }}{{18}} = 3$

c) Do $\cos \left( {\dfrac{{5\pi }}{6}} \right) = \cos \left( {\dfrac{\pi }{2} + \dfrac{\pi }{3}} \right) =  - \sin \dfrac{\pi }{3}$, nên ${\cos ^2}\dfrac{\pi }{3} + {\cos ^2}\dfrac{{5\pi }}{6} = 1$.

Do $\cos \dfrac{{11\pi }}{{18}} = \cos \left( {\dfrac{\pi }{2} + \dfrac{\pi }{9}} \right) =  - \sin \dfrac{\pi }{9}$, nên ${\cos ^2}\dfrac{\pi }{9} + {\cos ^2}\dfrac{{11\pi }}{{18}} = 1$

Do $\cos \dfrac{{13\pi }}{{18}} = \cos \left( {\dfrac{\pi }{2} + \dfrac{{2\pi }}{9}} \right) =  - \sin \dfrac{{2\pi }}{9}$, nên ${\cos ^2}\dfrac{{13\pi }}{{18}} + {\cos ^2}\dfrac{{2\pi }}{9} = 1$

Vậy ${\cos ^2}\dfrac{\pi }{3} + {\cos ^2}\dfrac{{5\pi }}{6} + {\cos ^2}\dfrac{\pi }{9} + {\cos ^2}\dfrac{{11\pi }}{{18}} + {\cos ^2}\dfrac{{13\pi }}{{18}} + {\cos ^2}\dfrac{{2\pi }}{9} = 3$

d) Do $\cos \dfrac{{6\pi }}{5} = \cos \left( {\pi  + \dfrac{\pi }{5}} \right) =  - \cos \dfrac{\pi }{5};$ $\cos \dfrac{{7\pi }}{5} =  - \cos \dfrac{{2\pi }}{5};\cos \dfrac{{8\pi }}{5} =  - \cos \dfrac{{3\pi }}{5};$ $\cos \dfrac{{9\pi }}{5} =  - \cos \dfrac{{4\pi }}{5};\cos \pi  =  - 1$ nên $\cos \dfrac{\pi }{5} + \cos \dfrac{{2\pi }}{5} +  \ldots  + \cos \dfrac{{9\pi }}{5} =  - 1$

e) Tương tự đối với sin, nhưng ở đây $\sin \pi  = 0$, ta có :

$\sin \dfrac{\pi }{5} + \sin \dfrac{{2\pi }}{5} +  \ldots  + \sin \dfrac{{9\pi }}{5} = 0.$

(Chú ý: Ta cũng có thể xét thập giác đều có các đỉnh là ${A_k}$ là các điểm trên đường tròn lượng giác, xác định bởi các số $\dfrac{{k\pi }}{5}$ (k = 1; 2; 3; 4; ....; 9; 10) và nhận xét rằng $\overrightarrow {O{A_1}}  + \overrightarrow {O{A_2}}  +  \ldots \overrightarrow {O{A_{10}}}  = \overrightarrow 0$)