Câu 6.40 trang 203 SBT Toán Đại 10 Nâng cao:  ...

Chứng minh công thức $\tan \dfrac{\alpha }{2} = \dfrac{{\sin \alpha }}{{1 + \cos \alpha }}$ (với $0 < \alpha  < \dfrac{\pi }{2}$) bằng “phương pháp hình học “ như sau:

Xét tam giác vuông ABC với $\widehat A = \dfrac{\pi }{2},\widehat B = \alpha$. Bằng cách vẽ đường phân giác BD của góc B (h. 6.5), từ tính chất $\dfrac{{AD}}{{AB}} = \dfrac{{DC}}{{BC}}$, hãy suy ra rằng:

$\tan \dfrac{\alpha }{2} = \dfrac{{\sin \alpha }}{{1 + \cos \alpha }}.$ Hãy tính $\tan \dfrac{\pi }{{12}}$.

Ta có

 $\begin{array}{l}\dfrac{{AD}}{{AB}} = \dfrac{{DC}}{{BC}} = \dfrac{{AC - AD}}{{BC}}\\ = \dfrac{{AC}}{{BC}} - \dfrac{{AD}}{{AB}}.\dfrac{{AB}}{{BC}}\end{array}$

Từ đó $\dfrac{{AD}}{{AB}}\left( {1 + \dfrac{{AB}}{{BC}}} \right) = \dfrac{{AC}}{{BC}},$ tức là $\tan \dfrac{\alpha }{2}\left( {1 + \cos \alpha } \right) = \sin \alpha$, suy ra $\tan \dfrac{\alpha }{2} = \dfrac{{\sin \alpha }}{{1 + \cos \alpha }}$.

Với $\alpha  = \dfrac{\pi }{6}$ ta được $\tan \dfrac{\pi }{{12}} = \dfrac{1}{{2\left( {1 + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}} = \dfrac{1}{{2 + \sqrt 3 }} = 2 - \sqrt 3 .$