Câu 6.39 trang 203 Sách BT Đại số 10 Nâng cao: Xét tam giác vuông ABC với...

Tính $\cos \dfrac{\pi }{8}$ và $\sin \dfrac{\pi }{8}$ bằng phương pháp hình học như sau:

Xét tam giác vuông ABC với

$\widehat A = \dfrac{\pi }{2};\widehat C = \dfrac{\pi }{8}$ thì $\cos \dfrac{\pi }{8} = \dfrac{{AC}}{{BC}};\sin \dfrac{\pi }{8} = \dfrac{{AB}}{{BC}}$.

Bằng cách xét điểm E trên cạnh AC sao cho $AE = AB$ (h. 6.4), hãy chứng minh rằng:

$\cos \dfrac{\pi }{8} = \dfrac{{\sqrt {2 + \sqrt 2 } }}{2},\sin \dfrac{\pi }{8} = \dfrac{{\sqrt {2 - \sqrt 2 } }}{2}$

Coi AB có độ dài là 1 thì dễ thấy $AE = AB = 1,BE = CE = \sqrt 2 ;$

$AC = AE + EC = 1 + \sqrt 2 ;$

$BC = \sqrt {1 + {{\left( {1 + \sqrt 2 } \right)}^2}}  = \sqrt {2\left( {2 + \sqrt 2 } \right)}.$

Từ đó $\cos \dfrac{\pi }{8} = \dfrac{{AC}}{{BC}} = \dfrac{{1 + \sqrt 2 }}{{\sqrt {2\left( {2 + \sqrt 2 } \right)} }} = \dfrac{{\sqrt {2 + \sqrt 2 } }}{2};$

$\sin \dfrac{\pi }{8} = \dfrac{{AB}}{{BC}} = \dfrac{1}{{\sqrt {2\left( {2 + \sqrt 2 } \right)} }} = \dfrac{{\sqrt {2 - \sqrt 2 } }}{2}.$