Câu 6.41 trang 203 Sách BT Đại số 10 Nâng cao:  ...

Chứng minh công thức $\cos 2\alpha  = 2{\cos ^2}\alpha  - 1$(với $0 < \alpha  < \dfrac{\pi }{4}$) bằng “phương pháp hình học” như sau:

Xét tam giác vuông ABC với $\widehat A = \dfrac{\pi }{2},\widehat B = \alpha .$ Kẻ đường trung trực của đoạn BC cắt AB tại I. Dễ thấy: $\cos 2\alpha  = \dfrac{{AI}}{{IC}};\cos \alpha  = \dfrac{{AB}}{{BC}}$ (h. 6.6); từ đó hãy suy ra

$\cos 2\alpha  = 2{\cos ^2}\alpha  - 1$.

Dễ thấy $BI = IC,$

nên

$\begin{array}{l}\cos 2\alpha  = \dfrac{{AI}}{{IC}} = \dfrac{{AI}}{{BI}} = \dfrac{{AB - BI}}{{BI}}\\ = \dfrac{{AB}}{{BI}} - 1 = \dfrac{{AB}}{{BC}}.\dfrac{{2BM}}{{BI}} - 1\end{array}$

Mà

$\cos \alpha  = \dfrac{{AB}}{{BC}} = \dfrac{{BM}}{{BI}}$, nên $\cos 2\alpha  = 2{\cos ^2}\alpha  - 1$.