Bài 10 trang 215 SBT Toán Đại số 10: Cho phương trình bậc hai...

Cho phương trình bậc hai

$a{x^2} - 2(a + 1)x + {(a + 1)^2}a = 0$ (E)

Kí hiệu S là tổng, P là tích các nghiệm (nếu có) của phương trình trên.

a) Với giá trị nào của a, phương trình (E) có nghiệm?

b) Biện luận dấu của S và P. Từ đó suy ra dấu các nghiệm của (E).

c)Tìm hệ thức giữa S và P độc lập đối với a.

d) Với những giá trị nào của a, các nghiệm ${x_1},{x_2}$ của (E) thỏa mãn hệ thức ${x_1} = 3{x_2}$? Tìm các nghiệm ${x_1},{x_2}$ trong mỗi trường hợp đó.

Gợi ý làm bài

a) Phải có:

$\Delta  = {(a + 1)^2} - {(a + 1)^2}{a^2} = {(a + 1)^2}(1 - {a^2}) \ge 0$

$\Leftrightarrow  - 1 \le a \le 1,a \ne 0$

b) Ta có:

$P = {(a + 1)^2}$

$P = 0 \Leftrightarrow a =  - 1$, khi đó ${x_1} = {x_2} = 0$

$P > 0,\forall a \ne  - 1$ khi đó ${x_1},{x_2}$ cùng dấu.

Mặt khác $S = {{2(a + 1)} \over a}$

Suy ra:

Với $0 < a \le 1$ thì hai nghiệm của phương trình (E) đều dương;

Với $- 1 \le a < 0$ thì hai nghiệm của phương trình (E) đều âm;

c) Từ $S = {{2(a + 1)} \over a}$ suy ra $a = {2 \over {S - 2}}$

Do đó: $P = {\left( {{2 \over {S - 2}} + 1} \right)^2} = {{{S^2}} \over {{{(S - 2)}^2}}} \Leftrightarrow {(S - 2)^2}P - {S^2} = 0$

d) $\left\{ \matrix{ {x_1} + {x_2} = {{2(a + 1)} \over a} \hfill \cr {x_1} = 3{x_2} \hfill \cr} \right. = > 4{x_2} = {{2(a + 1)} \over a}$

$\left\{ \matrix{ {x_1}{x_2} = {(a + 1)^2} \hfill \cr {x_1} = 3{x_2} \hfill \cr} \right. = > 3x_2^2 = {(a + 1)^2}.$

Suy ra: 

${(a + 1)^2}(4{a^2} - 3) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ a = - 1 \hfill \cr a = {{\sqrt 3 } \over 2} \hfill \cr a = - {{\sqrt 3 } \over 2} \hfill \cr} \right.$

Với a = - 1 ta có: ${x_1} = {x_2} = 0$

Với $a = {{\sqrt 3 } \over 2}$ ta có: ${x_2} = {{3 + 2\sqrt 3 } \over 6};{x_1} = {{3 + 2\sqrt 3 } \over 2}$

Với $a =  - {{\sqrt 3 } \over 2}$ ta có: ${x_2} = {{3 - 2\sqrt 3 } \over 6};{x_1} = {{3 - 2\sqrt 3 } \over 2}$