Cho phương trình bậc hai
\(a{x^2} – 2(a + 1)x + {(a + 1)^2}a = 0\) (E)
Kí hiệu S là tổng, P là tích các nghiệm (nếu có) của phương trình trên.
a) Với giá trị nào của a, phương trình (E) có nghiệm?
b) Biện luận dấu của S và P. Từ đó suy ra dấu các nghiệm của (E).
c)Tìm hệ thức giữa S và P độc lập đối với a.
d) Với những giá trị nào của a, các nghiệm \({x_1},{x_2}\) của (E) thỏa mãn hệ thức \({x_1} = 3{x_2}\)? Tìm các nghiệm \({x_1},{x_2}\) trong mỗi trường hợp đó.
Gợi ý làm bài
a) Phải có:
\(\Delta = {(a + 1)^2} – {(a + 1)^2}{a^2} = {(a + 1)^2}(1 – {a^2}) \ge 0\)
\( \Leftrightarrow – 1 \le a \le 1,a \ne 0\)
b) Ta có:
\(P = {(a + 1)^2}\)
\(P = 0 \Leftrightarrow a = – 1\), khi đó \({x_1} = {x_2} = 0\)
\(P > 0,\forall a \ne – 1\) khi đó \({x_1},{x_2}\) cùng dấu.
Mặt khác \(S = {{2(a + 1)} \over a}\)
Advertisements (Quảng cáo)
Suy ra:
Với \(0 < a \le 1\) thì hai nghiệm của phương trình (E) đều dương;
Với \( – 1 \le a < 0\) thì hai nghiệm của phương trình (E) đều âm;
c) Từ \(S = {{2(a + 1)} \over a}\) suy ra \(a = {2 \over {S – 2}}\)
Do đó: \(P = {\left( {{2 \over {S – 2}} + 1} \right)^2} = {{{S^2}} \over {{{(S – 2)}^2}}} \Leftrightarrow {(S – 2)^2}P – {S^2} = 0\)
d) \(\left\{ \matrix{
{x_1} + {x_2} = {{2(a + 1)} \over a} \hfill \cr
{x_1} = 3{x_2} \hfill \cr} \right. = > 4{x_2} = {{2(a + 1)} \over a}\)
\(\left\{ \matrix{
{x_1}{x_2} = {(a + 1)^2} \hfill \cr
{x_1} = 3{x_2} \hfill \cr} \right. = > 3x_2^2 = {(a + 1)^2}.\)
Suy ra:
\({(a + 1)^2}(4{a^2} – 3) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
a = – 1 \hfill \cr
a = {{\sqrt 3 } \over 2} \hfill \cr
a = – {{\sqrt 3 } \over 2} \hfill \cr} \right.\)
Với a = – 1 ta có: \({x_1} = {x_2} = 0\)
Với \(a = {{\sqrt 3 } \over 2}\) ta có: \({x_2} = {{3 + 2\sqrt 3 } \over 6};{x_1} = {{3 + 2\sqrt 3 } \over 2}\)
Với \(a = – {{\sqrt 3 } \over 2}\) ta có: \({x_2} = {{3 – 2\sqrt 3 } \over 6};{x_1} = {{3 – 2\sqrt 3 } \over 2}\)