Advertisements (Quảng cáo)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm I(2 ; 4), B(1 ; 1), C(5 ; 5). Tìm điểm A sao cho I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Gợi ý làm bài
(Xem hình 3.34)
Ta có : \(IB = \sqrt {{{\left( {1 – 2} \right)}^2} + {{\left( {1 – 4} \right)}^2}} = \sqrt {10} \)
\(\eqalign{
& IC = \sqrt {{{(5 – 2)}^2} + {{(5 – 4)}^2}} = \sqrt {10} \cr
& IB = IC \Rightarrow AB = AC. \cr} \)
Gọi M là trung điểm của BC, ta có M(3 ; 3).
Phương trình đường thẳng \(IM:x + y – 6 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\)
Phương trình đường thẳng \(IB:3x – y – 2 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\)
Gọi N là điểm đối xứng với M qua đường thẳng IB. Đặt N(x;y), ta có tọa độ trung điểm H của MN là \(\left( {{{x + 3} \over 2};{{y + 3} \over 2}} \right).\)
\(\overrightarrow {MN} = (x – 3;y – 3)\)
\(\overrightarrow {BI} = (1;3)\)
Ta có: \(\left\{ \matrix{
\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {BI} = 0 \hfill \cr
H \in IB \hfill \cr} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x – 3 + 3(y – 3) = 0 \hfill \cr
3\left( {{{x + 3} \over 2}} \right) – \left( {{{y + 3} \over 2}} \right) – 2 = 0 \hfill \cr} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x + 3y – 12 = 0 \hfill \cr
3x – y + 2 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = {3 \over 5} \hfill \cr
y = {{19} \over 5}. \hfill \cr} \right.\)
Vậy \(N\left( {{3 \over 5};{{19} \over 5}} \right).\)
Ta có B(1 ; 1). Phương trình đường thẳng BN: 7x + y – 8 = 0.
Điểm A là giao của hai đường thẳng BN và IM nên tọa độ của A là nghiệm của hệ phương trình
\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
7x + y – 8 = 0 \hfill \cr
x + y – 6 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = {1 \over 3} \hfill \cr
y = {{17} \over 3} \hfill \cr} \right.\)
Vậy tọa độ điểm A là \(\left( {{1 \over 3};{{17} \over 3}} \right).\)