Bài 11 trang 198 SBT Toán Hình học 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm...

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm I(2 ; 4), B(1 ; 1), C(5 ; 5). Tìm điểm A sao cho I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Gợi ý làm bài

(Xem hình 3.34)

Ta có : $IB = \sqrt {{{\left( {1 - 2} \right)}^2} + {{\left( {1 - 4} \right)}^2}}  = \sqrt {10}$

$\eqalign{ & IC = \sqrt {{{(5 - 2)}^2} + {{(5 - 4)}^2}} = \sqrt {10} \cr & IB = IC \Rightarrow AB = AC. \cr}$

Gọi M là trung điểm của BC, ta có M(3 ; 3).

Phương trình đường thẳng $IM:x + y - 6 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$

Phương trình đường thẳng $IB:3x - y - 2 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)$

Gọi N là điểm đối xứng với M qua đường thẳng IB. Đặt N(x;y), ta có tọa độ trung điểm H của MN là $\left( {{{x + 3} \over 2};{{y + 3} \over 2}} \right).$

$\overrightarrow {MN}  = (x - 3;y - 3)$

$\overrightarrow {BI}  = (1;3)$

Ta có: $\left\{ \matrix{ \overrightarrow {MN} .\overrightarrow {BI} = 0 \hfill \cr H \in IB \hfill \cr} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x - 3 + 3(y - 3) = 0 \hfill \cr 3\left( {{{x + 3} \over 2}} \right) - \left( {{{y + 3} \over 2}} \right) - 2 = 0 \hfill \cr} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x + 3y - 12 = 0 \hfill \cr 3x - y + 2 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = {3 \over 5} \hfill \cr y = {{19} \over 5}. \hfill \cr} \right.$

Vậy $N\left( {{3 \over 5};{{19} \over 5}} \right).$

Ta có B(1 ; 1). Phương trình đường thẳng BN: 7x + y - 8 = 0.

Điểm A là giao của hai đường thẳng BN và IM nên tọa độ của A là nghiệm của hệ phương trình

$\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 7x + y - 8 = 0 \hfill \cr x + y - 6 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = {1 \over 3} \hfill \cr y = {{17} \over 3} \hfill \cr} \right.$

Vậy tọa độ điểm A là $\left( {{1 \over 3};{{17} \over 3}} \right).$