Bài 13 trang 215 Sách bài tập Toán Đại số 10: Giải các hệ phương trình sau...

Giải các hệ phương trình sau

a) $\left\{ \matrix{ x + y + xy = 5 \hfill \cr {x^2} + {y^2} + xy = 7; \hfill \cr} \right.$

b) $\left\{ \matrix{ {x^2} + {y^2} - xy = 13 \hfill \cr x + y - \sqrt {xy} = 3. \hfill \cr} \right.$

Gợi ý làm bài

a) $\left\{ \matrix{ x + y + xy = 5 \hfill \cr {x^2} + {y^2} + xy = 7 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x + y + xy = 5 \hfill \cr {(x + y)^2} + (x + y) = 12 \hfill \cr} \right.$

Đặt u = x + y ta được ${u^2} + u - 12 = 0$

Giải ra ta được ${u_1} = 3,{u_2} =  - 4$

Với u = 3 ta có hệ phương trình 

$\left\{ \matrix{ x + y = 3 \hfill \cr xy = 2 \hfill \cr} \right.(*)$

Với u = -4 ta được hệ phương trình 

$\left\{ \matrix{ x + y = - 4 \hfill \cr xy = 9 \hfill \cr} \right.$ (vô nghiệm)

Đáp số: (1; 2) và (2; 1).

b) Đặt

$\left\{ \matrix{ u = x + y \hfill \cr v = \sqrt {xy} \hfill \cr} \right.(v \ge 0)$ ta được hệ phương trình

$\left\{ \matrix{ {u^2} - 3{v^2} = 13 \hfill \cr u - v = 3 \hfill \cr} \right.$

hay 

$\left\{ \matrix{ u - v = 3 \hfill \cr {u^2} - 9u + 20 = 0 \hfill \cr} \right.$

Giải hệ phương trình trên ta được

u = 5, v = 2

hoặc u = 4, v = 1

Vậy

$\left\{ \matrix{ x + y = 5 \hfill \cr \sqrt {xy} = 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ \left\{ \matrix{ x = 4 \hfill \cr y = 1 \hfill \cr} \right. \hfill \cr \left\{ \matrix{ y = 4 \hfill \cr x = 1 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right.$

và 

$\left\{ \matrix{ x + y = 4 \hfill \cr \sqrt {xy} = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ \left\{ \matrix{ x = 2 - \sqrt 3 \hfill \cr y = 2 + \sqrt 3 \hfill \cr} \right. \hfill \cr \left\{ \matrix{ x = 2 + \sqrt 3 \hfill \cr y = 2 - \sqrt 3 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right.$

Đáp số: Hệ phương trình đã cho có bốn nghiệm là

$(4;1);(1;4);(2 - \sqrt 3 ;2 + \sqrt 3 );(2 + \sqrt 3 ;2 - \sqrt 3 )$