Giải các hệ phương trình sau
a) \(\left\{ \matrix{
x + y + xy = 5 \hfill \cr
{x^2} + {y^2} + xy = 7; \hfill \cr} \right.\)
b) \(\left\{ \matrix{
{x^2} + {y^2} - xy = 13 \hfill \cr
x + y - \sqrt {xy} = 3. \hfill \cr} \right.\)
Gợi ý làm bài
a) \(\left\{ \matrix{
x + y + xy = 5 \hfill \cr
{x^2} + {y^2} + xy = 7 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x + y + xy = 5 \hfill \cr
{(x + y)^2} + (x + y) = 12 \hfill \cr} \right.\)
Đặt u = x + y ta được \({u^2} + u - 12 = 0\)
Giải ra ta được \({u_1} = 3,{u_2} = - 4\)
Với u = 3 ta có hệ phương trình
\(\left\{ \matrix{
x + y = 3 \hfill \cr
xy = 2 \hfill \cr} \right.(*)\)
Với u = -4 ta được hệ phương trình
\(\left\{ \matrix{
x + y = - 4 \hfill \cr
xy = 9 \hfill \cr} \right.\) (vô nghiệm)
Đáp số: (1; 2) và (2; 1).
b) Đặt
Advertisements (Quảng cáo)
\(\left\{ \matrix{
u = x + y \hfill \cr
v = \sqrt {xy} \hfill \cr} \right.(v \ge 0)\) ta được hệ phương trình
\(\left\{ \matrix{
{u^2} - 3{v^2} = 13 \hfill \cr
u - v = 3 \hfill \cr} \right.\)
hay
\(\left\{ \matrix{
u - v = 3 \hfill \cr
{u^2} - 9u + 20 = 0 \hfill \cr} \right.\)
Giải hệ phương trình trên ta được
u = 5, v = 2
hoặc u = 4, v = 1
Vậy
\(\left\{ \matrix{
x + y = 5 \hfill \cr
\sqrt {xy} = 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\left\{ \matrix{
x = 4 \hfill \cr
y = 1 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
\left\{ \matrix{
y = 4 \hfill \cr
x = 1 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right.\)
và
\(\left\{ \matrix{
x + y = 4 \hfill \cr
\sqrt {xy} = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\left\{ \matrix{
x = 2 - \sqrt 3 \hfill \cr
y = 2 + \sqrt 3 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
\left\{ \matrix{
x = 2 + \sqrt 3 \hfill \cr
y = 2 - \sqrt 3 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right.\)
Đáp số: Hệ phương trình đã cho có bốn nghiệm là
\((4;1);(1;4);(2 - \sqrt 3 ;2 + \sqrt 3 );(2 + \sqrt 3 ;2 - \sqrt 3 )\)