Bài 2.18 trang 92 SBT Toán Hình học 10: Cho tam giác ABC cân (AB = AC)....

Cho tam giác ABC cân (AB = AC). Gọi H là trung điểm của cạnh BC, D là hình chiếu vuông góc của H trên cạnh AC, M là trung điểm của đoạn HD. Chứng minh rằng AM vuông góc với BD.

Gợi ý làm bài

(h.2.22) 

Ta cần chứng minh $\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BD}  = 0$

Tac có: $2\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AH}  + \overrightarrow {AD}$ vì M là trung điểm của đoạn HD.

$\overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {BH}  + \overrightarrow {HD}$

Do đó:

$2\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BD}  = (\overrightarrow {AH}  + \overrightarrow {AD} ).(\overrightarrow {BH}  + \overrightarrow {HD} )$

$= \underbrace {\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BH} }_{ = 0} + \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {HD}  + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BH}  + \underbrace {\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {HD} }_{ = 0}$

$=  > \,2\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {HD}  + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BH}$

$= (\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {HD}  + (\overrightarrow {AH}  + \overrightarrow {HD} ).\overrightarrow {BH}$

$= \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {HD}  + \underbrace {\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BH} }_{ = 0} + \overrightarrow {HD} .\overrightarrow {BH}$

$= \overrightarrow {HD} .(\underbrace {\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BH} }_{\overrightarrow {AC} }) = \overrightarrow {HD} .\overrightarrow {AC}  = 0$

Vậy AM vuông góc với BD.