Bài 46 trang 45 SBT Hình 10 nâng cao: Tính côsin của góc giữa mỗi cặp vec tơ sau:...

Cho các vec tơ $\overrightarrow a ( - 2 ; 3) ;  \overrightarrow b (4 ; 1)$.

a) Tính côsin của góc giữa mỗi cặp vec tơ sau:

$\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b;$ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow i;$ $\overrightarrow b$ và $\overrightarrow j ;$ $\overrightarrow a  + \overrightarrow b$ và $\overrightarrow a  - \overrightarrow b$

b) Tìm các số $k$ và $l$ sao cho vec tơ $\overrightarrow c  = k\overrightarrow a  + l\overrightarrow b$ vuông góc với vec tơ $\overrightarrow a  + \overrightarrow b$.

c) Tìm vec tơ $\overrightarrow d$ biết $\overrightarrow a . \overrightarrow d  = 4$ và $\overrightarrow b . \overrightarrow d  =  - 2$.

Giải

a) Ta có

$\begin{array}{l}\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \dfrac{{ - 2.4 + 3.1}}{{\sqrt {{2^2} + {3^3}} .\sqrt {{4^2} + {1^2}} }}\\ =  - \dfrac{5}{{\sqrt {221} }}  ;\\\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow i } \right) =  - \dfrac{2}{{\sqrt {13} }}  ; \\\cos \left( {\overrightarrow b ,\overrightarrow j } \right) = \dfrac{1}{{\sqrt {17} }}  ;\\\overrightarrow a  + \overrightarrow b  = (2 ; 4)  ;   \overrightarrow a  - \overrightarrow b  = ( - 6 ; 2)  ;\\\cos \left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b  ,  \overrightarrow a  - \overrightarrow b } \right) \\= \dfrac{{ - 4}}{{\sqrt {{2^2} + {4^2}} .\sqrt {{6^2} + {2^2}} }} =  - \dfrac{1}{{5\sqrt 2  }}.\end{array}$

b) Ta có

$\begin{array}{l}\overrightarrow c  = k\overrightarrow a  + l\overrightarrow b  = ( - 2k + 4l ; 3k + l) ;\\\overrightarrow c   \bot \left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right)     \Leftrightarrow   \overrightarrow c .\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right) = 0 \\   \Leftrightarrow    2( - 2k + 4l) + 4(3k + l) = 0\\                          \Leftrightarrow 2k + 3l = 0.\end{array}$

Vậy với $2k+3l=0$ thì  $\overrightarrow c    \bot \left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right).$

c) Giả sử $\overrightarrow d  = (x ; y)$. Khi đó từ $\overrightarrow a .\overrightarrow d  = 4  ;  \overrightarrow b .\overrightarrow d  =  - 2$, suy ra hệ phương trình

$\left\{ \begin{array}{l} - 2x + 3y = 4\\4x + y =  - 2\end{array} \right.$

Từ đó giải hệ ta có  $\overrightarrow d  = \left( { - \dfrac{5}{7} ; \dfrac{6}{7}} \right)$.