Cho các vec tơ \(\overrightarrow a ( - 2 ; 3) ; \overrightarrow b (4 ; 1)\).
a) Tính côsin của góc giữa mỗi cặp vec tơ sau:
\(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b; \) \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow i; \) \(\overrightarrow b \) và \(\overrightarrow j ;\) \(\overrightarrow a + \overrightarrow b \) và \(\overrightarrow a - \overrightarrow b \)
b) Tìm các số \(k\) và \(l\) sao cho vec tơ \(\overrightarrow c = k\overrightarrow a + l\overrightarrow b \) vuông góc với vec tơ \(\overrightarrow a + \overrightarrow b \).
c) Tìm vec tơ \(\overrightarrow d \) biết \(\overrightarrow a . \overrightarrow d = 4\) và \(\overrightarrow b . \overrightarrow d = - 2\).
Giải
a) Ta có
\(\begin{array}{l}\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \dfrac{{ - 2.4 + 3.1}}{{\sqrt {{2^2} + {3^3}} .\sqrt {{4^2} + {1^2}} }}\\ = - \dfrac{5}{{\sqrt {221} }} ;\\\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow i } \right) = - \dfrac{2}{{\sqrt {13} }} ; \\\cos \left( {\overrightarrow b ,\overrightarrow j } \right) = \dfrac{1}{{\sqrt {17} }} ;\\\overrightarrow a + \overrightarrow b = (2 ; 4) ; \overrightarrow a - \overrightarrow b = ( - 6 ; 2) ;\\\cos \left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b , \overrightarrow a - \overrightarrow b } \right) \\= \dfrac{{ - 4}}{{\sqrt {{2^2} + {4^2}} .\sqrt {{6^2} + {2^2}} }} = - \dfrac{1}{{5\sqrt 2 }}.\end{array}\)
Advertisements (Quảng cáo)
b) Ta có
\(\begin{array}{l}\overrightarrow c = k\overrightarrow a + l\overrightarrow b = ( - 2k + 4l ; 3k + l) ;\\\overrightarrow c \bot \left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) \Leftrightarrow \overrightarrow c .\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) = 0 \\ \Leftrightarrow 2( - 2k + 4l) + 4(3k + l) = 0\\ \Leftrightarrow 2k + 3l = 0.\end{array}\)
Vậy với \(2k+3l=0\) thì \(\overrightarrow c \bot \left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right).\)
c) Giả sử \(\overrightarrow d = (x ; y)\). Khi đó từ \(\overrightarrow a .\overrightarrow d = 4 ; \overrightarrow b .\overrightarrow d = - 2\), suy ra hệ phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l} - 2x + 3y = 4\\4x + y = - 2\end{array} \right.\)
Từ đó giải hệ ta có \(\overrightarrow d = \left( { - \dfrac{5}{7} ; \dfrac{6}{7}} \right)\).