Bài 48 trang 45 SBT Hình 10 nâng cao...

Cho ba điểm $A(-1 ; 1), B(3 ; 1), C(2 ; 4).$

a) Tính chu vi và diện tích của tam giác $ABC.$

b) Tìm tọa độ trực tâm $H$, trọng tâm $G$ và tâm $I$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Hãy kiểm nghiệm lại hệ thức $\overrightarrow {IH}  = 3\overrightarrow {IG}$.

Giải

a) Ta có

$\begin{array}{l}AB = \sqrt {{{(3 + 1)}^2} + {{(1 - 1)}^2}}  = 4.\\BC = \sqrt {{{(2 - 3)}^2} + {{(4 - 1)}^2}}  = \sqrt {10} .\\AC = \sqrt {{{(2 + 1)}^2} + {{(4 - 1)}^2}}  = 3\sqrt 2 .\end{array}$

Chu vi tam giác $ABC$ là $4 + \sqrt {10}  + 3\sqrt 2 .$

Ta có $\overrightarrow {AB}  = (4 ; 0) ;  \overrightarrow {AC}  = (3 ; 3)$ nên $\cos \widehat {BAC} = \dfrac{{12}}{{4.3\sqrt 2 }} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}$, suy ra $\widehat {BAC} = {45^0}$.

Vậy diện tích tam giác $ABC$ bằng

$\dfrac{1}{2}AB.AC.{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in4}}{5^0} = \dfrac{1}{2}.4.3\sqrt 2 .\dfrac{1}{{\sqrt 2 }}$

$= 6$.

b) Gọi $H({x_1} ; {y_1})$ là trực tâm tam giác $ABC.$

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {CH} .\overrightarrow {AB}  = 0\\\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC}  = 0\end{array} \right..$ Từ đó dẫn đến $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} - 2 = 0\\{x_1} + {y_1} - 4 = 0\end{array} \right..$

Suy ra $H=(2 ; 2).$

Trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ có tọa độ

$\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \dfrac{{ - 1 + 3 + 2}}{3} = \dfrac{4}{3}\\{y_G} = \dfrac{{1 + 1 + 4}}{3} = 2\end{array} \right.$

Giả sử $I({x_2} ; {y_2})$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Khi đó $IA=IB$ và $IA=IC.$

Từ $IA=IB$ suy ra

${({x_2} + 1)^2} + {({y_2} - 1)^2}$

$= {({x_2} - 3)^2} + {({y_2} - 1)^2}.$       (1)

Từ $IA=IC$ suy ra

${({x_2} + 1)^2} + {({y_2} - 1)^2}$

$= {({x_2} - 2)^2} + {({y_2} - 4)^2}.$        (2)

Từ (1) ta có $x_1=1$, thay vào (2) được $y_2=2$. Vậy $I=(1 ; 2).$

Như vậy $\overrightarrow {IH}  = (1 ; 0) ;  \overrightarrow {IG}  = \left( {\dfrac{1}{3} ; 0} \right)$.

Từ đó suy ra $\overrightarrow {IH}  = 3\overrightarrow {IG}$.