Chứng minh rằng: Trong tam giác, trung điểm các cạnh, chân các đường cao cùng thuộc một đường tròn (ω) và đường tròn (ω) cũng đi qua trung điểm của các đoạn thẳng nối mỗi đỉnh với trực tâm tam giác (đường tròn chín điểm hay đường tròn Ơ-le của tam giác).
Giải
Giả sử tam giác ABC có AA′⊥BC và M,N là trung điểm của BC và AC.
Vẽ đường tròn (ω) đi qua A′,M,N nếu A′ khác M, hoặc (ω) đi qua N và tiếp xúc với BC tại M nếu A′ trùng với M. Lấy giao điểm thứ hai B′ của (ω) và AC.
Khi đó →CA′.→CM=→CN.→CB′ hay 12→CA′.→CB=12→CA.→CB′, suy ra →CA′.→CB=→CB′.→CA.
Vậy bốn điểm B,A′,B′,A cùng thuộc một đường tròn. Trong đường tròn này ^AB′B=^AA′B=900, vậy (ω) đi qua chân đường cao B′ hạ từ đỉnh B của tam giác ABC.
Advertisements (Quảng cáo)
Đặt K là gao điểm thứ hai của (ω) với AA′, ta có →AK.→AA′=→AB′.→AN.
Ta lại có →AH.→AA′=→AB′.→AC (do HB′CA′ nội tiếp được).
Từ đó suy ra →AK.→AA′=12→AB′.→AC=12→AH.→AA′. Do đó →AK=12→AH. Vậy (ω) đi qua trung điểm K của AH.
Gọi P là trung điểm của AB, ta có KP//BB′ và MP//AC, suy ra ^KPM=900.
Tương tự cũng có ^KNM=900 nên P nằm trên đường tròn (ω) đi qua M,N,K.
Lí luận tương tự như trên ta được chân đường cao C′ hạ từ đỉnh C và trung điểm các đoạn HB,HC đều thuộc đường tròn (ω).