Bài 2.19 trang 92 Sách bài tập Toán Hình học: Cho hai véc tơ...

Cho hai véc tơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ có $\left| {\overrightarrow a } \right| = 5,\left| {\overrightarrow b } \right| = 12$ và $\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right| = 13$. Tính tích vô hướng $\overrightarrow a .(\overrightarrow a  + \overrightarrow b )$ và suy ra góc giữa hai vec tơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow a  + \overrightarrow b$

Gợi ý làm bài

(h.2.23)

Dựng tam giác ABC có AB = 5, BC= 12 và AC = 13.

Ta có $\left| {\overrightarrow a } \right| = 5,\left| {\overrightarrow b } \right| = 12$ và $\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right| = 13$

Và $\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow a ,\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow b ,\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow a  + \overrightarrow b$

Khi đó $\overrightarrow a (\overrightarrow a  + \overrightarrow b ) = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}$

Mặt khác ta có:

$\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = {1 \over 2}(A{C^2} + A{B^2} - B{C^2})$

$= {1 \over 2}({13^2} + {5^2} - {12^2}) = 25$

Ta suy ra:

$\eqalign{ & \cos (\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} ) = {{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \over {\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} \cr & = {{25} \over {5.13}} \approx 0,3846 \cr}$

Suy ra $(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} ) \approx {67^0}23’$