Bài 2.20 trang 92 bài tập SBT môn Toán Hình học 10: Cho tam giác ABC. Gọi H là trực tâm của tam giác và M là trung...

Cho tam giác ABC. Gọi H là trực tâm của tam giác và M là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh rằng $\overrightarrow {MH} .\overrightarrow {MA}  = {1 \over 4}B{C^2}$

Gợi ý làm bài

(h.2.24)

Ta có $\overrightarrow {AM}  = {1 \over 2}(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} )$

$\overrightarrow {HM}  = {1 \over 2}(\overrightarrow {HB}  + \overrightarrow {HC} )$

$=  > \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {HM}  = {1 \over 4}(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} ).(\overrightarrow {HB}  + \overrightarrow {HC} )$

$= {1 \over 4}(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {HB}  + \underbrace {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {HC} }_{ = 0} + \underbrace {\overrightarrow {AC} \overrightarrow {.HB} }_{ = 0} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {HC} )$

$= {1 \over 4}(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {HB}  + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {HC} )$

$= {1 \over 4}\left[ {\overrightarrow {AB} .(\overrightarrow {HC}  + \overrightarrow {CB} ) + \overrightarrow {AC} .(\overrightarrow {HB}  + \overrightarrow {BC} )} \right]$

$= {1 \over 4}\left[ {\underbrace {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {HC} }_0 + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CB}  + \underbrace {\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {HB} }_0 + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC} } \right]$

$= {1 \over 4}(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC} ) = {1 \over 4}(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CB}  - \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CB} )$

$= {1 \over 4}\overrightarrow {CB} .(\underbrace {\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC} }_{\overrightarrow {CB} }) = {1 \over 4}{\overrightarrow {CB} ^2} = {1 \over 4}{\overrightarrow {BC} ^2}$