Bài 2.33 trang 102 Sách bài tập Toán Hình học 10: Chứng minh rằng...

Gọi ${m_a},{m_b},{m_c}$ là các trung tuyến lần lượt ứng với các cạnh a, b, c của tam giác ABC.

a) Tính ${m_a}$, biết rằng a = 26, b = 18, c = 16

b) Chứng minh rằng: $4(m_a^2 + m_{_b}^2 + m_{_c}^2) = 3({a^2} + {b^2} + {c^2})$

Gợi ý làm bài

a) $m_a^2 = {{{b^2} + {c^2}} \over 2} - {{{a^2}} \over 4} = {{{{18}^2} + {{16}^2}} \over 2} - {{{{26}^2}} \over 4}$

$\eqalign{ & = {{324 + 256} \over 2} - {{676} \over 4} = {{484} \over 4} \cr & = > {m_a} = {{22} \over 2} = 11 \cr}$

b) $\left\{ \matrix{ m_a^2 = {{{b^2} + {c^2}} \over 2} - {{{a^2}} \over 4} \hfill \cr m_b^2 = {{{a^2} + {c^2}} \over 2} - {{{b^2}} \over 4} \hfill \cr m_c^2 = {{{a^2} + {b^2}} \over 2} - {{{c^2}} \over 4} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ m_a^2 = 2({b^2} + {c^2}) - {a^2} \hfill \cr m_b^2 = 2({a^2} + {c^2}) - {b^2} \hfill \cr m_c^2 = 2({a^2} + {b^2}) - {c^2} \hfill \cr} \right.$

Ta suy ra: $4(m_a^2 + m_{_b}^2 + m_{_c}^2) = 3({a^2} + {b^2} + {c^2})$