Bài 2.34 trang 102 SBT Toán Hình học 10: Tam giác ABC có...

Tam giác ABC có b + c = 2a. Chứng minh rằng:

a) 2sinA = sinB + sinC

b) ${2 \over {{h_a}}} = {1 \over {{h_b}}} + {1 \over {{h_c}}}$

Gợi ý làm bài

a) Theo định lý sin ta có: ${a \over {\sin A}} = {b \over {\sin B}} = {c \over {\sin C}}$

Ta suy ra: ${a \over {\sin A}} = {{b + c} \over {\sin B + \sin C}} = {{2a} \over {\sin B + \sin C}}$

$=  > 2sinA = sinB + \sin C$

b) Đối với tam giác ABC ta có: $S = {1 \over 2}ab\sin C = {1 \over 2}{h_C}.c = {{abc} \over {4R}}$

Ta suy ra ${h_c} = {{ab} \over {2R}}$. Tương tự ta có ${h_b} = {{ac} \over {2R}},{h_a} = {{bc} \over {2R}}$.

Do đó:

${1 \over {{h_b}}} + {1 \over {{h_c}}} = 2R\left( {{1 \over {ac}} + {1 \over {ab}}} \right) = 2R{{b + c} \over {abc}}$ mà b + c = 2a

Nên ${1 \over {{h_b}}} + {1 \over {{h_c}}} = {{2R.2a} \over {abc}} = {{2R.2} \over {bc}} = {2 \over {{h_a}}}$

Vậy ${2 \over {{h_a}}} = {1 \over {{h_b}}} + {1 \over {{h_c}}}$