Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m.
a) \(|2x - 5m| = 2x - 3m\)
b) \(|3x + 4m| = |4x - 7m|\)
c) $\((m + 1){x^2} + (2m - 3)x + m + 2 = 0\)
d) \({{{x^2} - (m + 1)x - {{21} \over 4}} \over {x - 3}} = 2x + m\)
Gợi ý làm bài
a) Với \(x \ge {{5m} \over 2}\) phương trình đã cho trở thành
\(2x - 5m = 2x - 3m \Leftrightarrow 2m = 0 \Leftrightarrow m = 0\)
Vậy với m = 0 thì mọi \(x \ge 0\) đều là nghiệm của phương trình.
Với \(x < {{5m} \over 2}\) phương trình đã cho trở thành
\( - 2x + 5m = 2x - 3m\)
\( \Leftrightarrow 4x = 8m \Leftrightarrow x = 2m\)
Vì $\(x < {{5m} \over 2}\) nên \(2m < {{5m} \over 2} \Leftrightarrow m > 0\).
Kết luận:
Với m > 0 phương trình có nghiệm là x = 2m.
Với m = 0 phương trình có nghiệm là mọi số thực không âm.
Với m < 0 phương trình vô nghiệm.
b) Ta có:
\(\eqalign{
& |3x + 4m| = |4x - 7m| \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
3x + 4m = 4x - 7m \hfill \cr
3x + 4m = - 4x + 7m \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 11m \hfill \cr
x = {{3m} \over 7} \hfill \cr} \right. \cr} \)
Advertisements (Quảng cáo)
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 11m và $\(x = {{3m} \over 7}\) với mọi giá trị của m.
c) Với m = -1 phương trình đã cho trở thành
\( - 5x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = {1 \over 5}$\)
Với \(m \ne - 1\) phương trình đã cho là một phương trình bậc hai, có biệt thức \(\Delta = - 24m + 1.\)
Nếu \(m \le {1 \over {24}}\) thì \(\Delta \ge 0\) phương trình có hai nghiệm
\({x_{1,2}} = {{2m - 3 \pm \sqrt {1 - 24m} } \over {2(m + 1)}}\)
Kết luận:
Với \(x > {1 \over {24}}\) phương trình vô nghiệm.
Với \(x \le {1 \over {24}}\) và \(m \ne - 1\) phương trình có hai nghiệm.
\({x_{1,2}} = {{2m - 3 \pm \sqrt {1 - 24m} } \over {2(m + 1)}}\)
Với m = -1 phương trình có nghiệm là \(x = {1 \over 5}\)
d) Điều kiện của phương trình là: \(x \ne 3.\) Ta có:
\({{{x^2} - (m + 1)x - {{21} \over 4}} \over {x - 3}} = 2x + m = > {x^2} - (m + 1)x - {{21} \over 4} = (x - 3)(2x + m)\)
\( \Leftrightarrow {x^2} + (2m - 5)x + {{21} \over 4} - 3m = 0\)
Phương trình cuối luôn có nghiệm \({x_1} = {3 \over 2},{x_2} = {{7 - 4m} \over 2}\)
Ta có: \({{7 - 4m} \over 2} \ne 3 \Leftrightarrow m \ne {1 \over 4}\)
Kết luận
Với \(m \ne {1 \over 4}\) phương trình đã cho có hai nghiệm và \(x = {3 \over 2}\) và \(x = {{7 - 4m} \over 2}\)
Với \(m = {1 \over 4}\) phương trình có một nghiệm \(x = {3 \over 2}\)