Giải và biện luận theo tham số m hệ phương trình:
\(\left\{ \matrix{
2x(3m + 1)y = m - 1 \hfill \cr
(m + 2)x + (4m + 3)y = m \hfill \cr} \right.\)
Hướng dẫn: Giải và biện luận theo m có nghĩa là xét xem với giá trị nào của m thì hệ phương trình vô nghiệm, với giá trị nào của m thì hệ phương trình có 1 nghiệm, giá trị nghiệm là bao nhiêu, với giá trị nào của m thì hệ phương trình có vô số nghiệm.
Để Giải và biện luận hệ phương trình trên ta dùng phương pháp cộng đại số để khử một ẩn.
Gợi ý làm bài
Nhân phương trình thứ nhất của hệ với m + 2, nhân phương trình thứ hai với 2 ta được hệ phương trình
\(\left\{ \matrix{
2(m + 2)x + (3m + 1)(m + 2)y = (m - 1)(m + 2) \hfill \cr
2(m + 2)x + 2(4m + 3)y = 2m \hfill \cr} \right.\)
Trừ hai phương trình vế theo vế ta được phương trình:
\((3{m^2} - m - 4)y = (m + 1)(m - 2)\) (1)
+Với m = -1 phương trình (1) có dạng:
0y = 0
Phương trình này nhận mọi giá trị thức của y làm nghiệm. Lúc đó thay m = -1 vào hệ phương trình đã cho, hai phương trình trở thành một phương trình.
\(x - y = - 1 = > y = x + 1\), x tùy ý.
Advertisements (Quảng cáo)
+Với \(m = {4 \over 3}\) phương trình (1) có dạng.
\(0y = - {{14} \over 9}\)
Phương trình này vô nghiệm, do đó hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
+Với \(m \ne - 1\) và \(m \ne {4 \over 3}\), phương trình (1) có nghiệm duy nhất
\(y = {{m - 2} \over {3m - 4}}\)
Thay vào một trong hai phương trình của hệ đã cho ta suy ra
\(x = {{ - m + 3} \over {3m - 4}}\)
Kết luận
\(m = {4 \over 3}\): Hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
\(m = - 1\): Hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm
\(x = a,y = a + 1\), a là số thực tùy ý.
\(m \ne - 1\), \(m \ne {4 \over 3}\): Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất :
\(m \ne - 1\) và \((x;y) = ({{3 - m} \over {3m - 4}};{{m - 2} \over {3m - 4}})\)