Bài 3.2 trang 143 Sách bài tập Toán Hình học 10: Cho đường thẳng có phương trình tham số...

Cho đường thẳng $\Delta$ có phương trình tham số  

$\left\{ \matrix{ x = 2 + 2t \hfill \cr y = 3 + t \hfill \cr} \right.$

a) Tìm điểm M nằm trên $\Delta$ và cách điểm A(0;1) một khoảng bằng 5.

b) Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng $\Delta$ với đường thẳng x + y + 1 = 0

c) Tìm M trên $\Delta$ sao cho AM ngắn nhất.

Gợi ý làm bài

a) $M(2 + 2t;3 + t) \in \Delta .$

$AM = 5 \Leftrightarrow {(2 + 2t)^2} + {(2 + t)^2} = 25$

$\Leftrightarrow 5{t^2} + 12t - 17 = 0 \Leftrightarrow t = 1 \vee t =  - {{17} \over 5}$

Vậy M có tọa độ là (4;4) hay $\left( {{{ - 24} \over 5};{{ - 2} \over 5}} \right)$

b) $M(2 + 2t;3 + t) \in \Delta .$

$\eqalign{ & d:x + y + 1 = 0 \cr & M \in d \Leftrightarrow 2 + 2t + 3 + t + 1 = 0 \Leftrightarrow t = - 2 \cr}$

Vậy M có tọa độ là (-2;1).

c) $M(2 + 2t;3 + t) \in \Delta .$

$\overrightarrow {AM}  = (2 + 2t;2 + t)$, ${\overrightarrow u _\Delta } = (2;1)$

Ta có AM ngắn nhất $\Leftrightarrow \overrightarrow {AM}  \bot {\overrightarrow u _\Delta }$

$\Leftrightarrow 2(2 + 2t) + (2 + t) = 0 \Leftrightarrow t =  - {6 \over 5}$

Vậy M có tọa độ là $\left( { - {2 \over 5};{9 \over 5}} \right).$