Bài 3.56 trang 163 Sách bài tập Toán Hình Học 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy xác định tọa độ đỉnh C của tam...

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy xác định tọa độ đỉnh C của tam giác ABC biết rằng hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng AB là điểm H(-1;-1), đường phân giác trong của góc A có phương trình x - y + 2 = 0 và đường cao kẻ từ B có phương trình 4x + 3y - 1 = 0

Gợi ý làm bài

Ta gọi ${d_1}:x - y + 2 = 0$ và ${d_2}:4x + 3y - 1 = 0$.

Gọi H'(a;b) là điểm đối xứng của H qua ${d_1}$

Khi đó H’ thuộc đường thẳng AC (h.3.16). 

$\overrightarrow u  = (1;1)$ là vectơ chỉ phương của ${d_1}$, $\overrightarrow {HH’}  = \left( {a + 1;b + 1} \right)$ vuông góc với $\overrightarrow u$ và trung điểm $I\left( {{{a - 1} \over 2};{{b - 1} \over 2}} \right)$ của $\overrightarrow {HH’}$ thuộc ${d_1}$. Do đó tọa độ của H’ là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{ \matrix{ 1.\left( {a + 1} \right) + 1\left( {b + 1} \right) = 0 \hfill \cr {{a - 1} \over 2} - {{b - 1} \over 2} = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow H'( - 3;1).$

Đường thẳng AC đi qua H’ vuông góc với ${d_2}$ nên có viectơ pháp tuyến là $\overrightarrow v  = \left( {3; - 4} \right)$, suy ra AC có phương trình là : 

$\eqalign{ & 3\left( {x + 3} \right) - 4\left( {y - 1} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow 3x - 4y + 13 = 0. \cr}$

Tọa độ của A là nghiệm của hệ phương trình  $\left\{ \matrix{ 3x - 4y + 13 = 0 \hfill \cr x - y + 2 = 0 \hfill \cr} \right.$

$\Rightarrow A(5;7).$

Đường thẳng CH đi qua H (-1 ; -1) với vectơ pháp tuyến là ${1 \over 2}\overrightarrow {HA}  = \left( {3;4} \right)$ nên có phương trình là: 

$3\left( {x + 1} \right) + 4\left( {y + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + 4y + 7 = 0.$

Tọa độ của C là nghiệm của phương trình

$\left\{ \matrix{ 3x + 4y + 7 = 0 \hfill \cr 3x - 4y + 13 = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow C\left( { - {{10} \over 3};{3 \over 4}} \right).$