Bài 3.60 trang 164 Sách bài tập (SBT) Toán Hình Học 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A( 2;2) và các đường...

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A( 2;2) và các đường thẳng

${d_1}:x + y - 2 = 0$; ${d_2}:x + y - 8 = 0$

 Tìm tọa độ các điểm B và C lần lượt thuộc  ${d_1}$ và ${d_2}$ sao cho tam giác ABC vuông cân tại A.

Gợi ý làm bài

(xem hình 3.19)

Vì $B \in {d_1},C \in {d_2}$ nên $B\left( {b;2 - b} \right),C\left( {c;8 - c} \right).$

Tam giác ABC vuông cân tại A

$\eqalign{ & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0 \hfill \cr AB = AC \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ bc - 4b - c + 2 = 0 \hfill \cr {b^2} - 2b = {c^2} - 8c + 18 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ (b - 1)(c - 4) = 2 \hfill \cr {(b - 1)^2}{(c - 4)^2} = 3. \hfill \cr} \right. \cr}$

Đặt x = b – 1, y = c – 4 ta có hệ :

$\left\{ \matrix{ x.y = 2 \hfill \cr {x^2} - {y^2} = 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = - 2 \hfill \cr y = - 1 \hfill \cr} \right.$

hoặc 

$\left\{ \matrix{ x = 2 \hfill \cr y = 1. \hfill \cr} \right.$

Vậy B(-1 ; 3), C(3 ; 5) hoặc B(3 ; -1), C(5;3)