Bài 1 trang 126 Hình học 10 Nâng cao: Chứng minh các đăng thức sau...

Trên hình 105, ta có tam giác ABC và các hình vuông $A{A’}{B_1}B,\,\,B{B’}{C_1}C,\,\,C{C’}{A_1}A$ .

Chứng  minh các đăng thức sau

a) $(\overrightarrow {A{A’}}  + \overrightarrow {B{B’}} ).\,\overrightarrow {AC}  = 0$

b) $(\overrightarrow {A{A’}}  + \overrightarrow {B{B’}}  + \overrightarrow {C{C’}} ).\,\overrightarrow {AC}  = 0$

c) $\overrightarrow {A{A’}}  + \overrightarrow {B{B’}}  + \overrightarrow {C{C’}}  = 0$

d) $\overrightarrow {A{B_1}}  + \overrightarrow {B{C_1}}  + \overrightarrow {C{A_1}}  = 0$

Giải

a) Kẻ $AH \bot BC$ ta chứng minh đường thẳng AH cắt A’A₁ tại trung điểm I của A’A₁. Kẻ .

Ta có: ${A’}M \bot AH\,\,\,{A_1}N \bot AH$

$\eqalign{ & \Delta AHB = \Delta {A’}MA\,\,\, \Rightarrow \,\,{A’}M = AH \cr & \Delta AHC = \Delta {A_1}NA\,\,\, \Rightarrow \,\,{A_1}N = AH \cr}$                             

Từ đó suy ra: $\Delta IM{A’} = \Delta IN{A_1}\,\,\, \Rightarrow \,\,I{A’} = \,\,I{A_1}\,$

Tương tự gọi J là trung điểm ${B_1}{B’}$ thì $BJ \bot AC$ .

Ta có           

$\overrightarrow {A{A’}}  + \overrightarrow {B{B’}}  = \overrightarrow {B{B_1}}  + \overrightarrow {B{B’}}  = 2\overrightarrow {BJ}$

$\Rightarrow \,\,(\overrightarrow {A{A’}}  + \overrightarrow {B{B’}} ).\,\overrightarrow {AC}  = 0$               

b) Theo câu a) và $\overrightarrow {C{C’}}  \bot \overrightarrow {AC}$ nên $(\overrightarrow {A{A’}}  + \overrightarrow {B{B’}}  + \overrightarrow {C{C’}} ).\,\overrightarrow {AC}  = 0$ .

c) Đặt $\overrightarrow u  = \overrightarrow {A{A’}}  + \overrightarrow {B{B’}}  + \overrightarrow {C{C’}}$.

Ta có $\overrightarrow u .\,\overrightarrow {AC}  = 0\,\,\overrightarrow u .\,\overrightarrow {AB}  = 0\,$  . Suy ra $\overrightarrow u  = \overrightarrow 0$ .

d) Ta có

$\eqalign{ & \overrightarrow {A{B_1}} + \overrightarrow {B{C_1}} + \overrightarrow {C{A_1}}\cr& = \overrightarrow {A{A’}} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {B{B’}} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {C{C’}} + \overrightarrow {CA} \cr &  = \overrightarrow {A{A’}} + \overrightarrow {B{B’}} + \overrightarrow {C{C’}} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow 0 \cr}$