Trên hình 105, ta có tam giác ABC và các hình vuông \(A{A’}{B_1}B,\,\,B{B’}{C_1}C,\,\,C{C’}{A_1}A\) .
Chứng minh các đăng thức sau
a) \((\overrightarrow {A{A’}} + \overrightarrow {B{B’}} ).\,\overrightarrow {AC} = 0\)
b) \((\overrightarrow {A{A’}} + \overrightarrow {B{B’}} + \overrightarrow {C{C’}} ).\,\overrightarrow {AC} = 0\)
c) \(\overrightarrow {A{A’}} + \overrightarrow {B{B’}} + \overrightarrow {C{C’}} = 0\)
d) \(\overrightarrow {A{B_1}} + \overrightarrow {B{C_1}} + \overrightarrow {C{A_1}} = 0\)
Giải
a) Kẻ \(AH \bot BC\) ta chứng minh đường thẳng AH cắt A’A1 tại trung điểm I của A’A1. Kẻ .
Ta có: \({A’}M \bot AH\,\,\,{A_1}N \bot AH\)
\(\eqalign{
& \Delta AHB = \Delta {A’}MA\,\,\, \Rightarrow \,\,{A’}M = AH \cr
& \Delta AHC = \Delta {A_1}NA\,\,\, \Rightarrow \,\,{A_1}N = AH \cr} \)
Advertisements (Quảng cáo)
Từ đó suy ra: \(\Delta IM{A’} = \Delta IN{A_1}\,\,\, \Rightarrow \,\,I{A’} = \,\,I{A_1}\,\)
Tương tự gọi J là trung điểm \({B_1}{B’}\) thì \(BJ \bot AC\) .
Ta có
\(\overrightarrow {A{A’}} + \overrightarrow {B{B’}} = \overrightarrow {B{B_1}} + \overrightarrow {B{B’}} = 2\overrightarrow {BJ} \)
\(\Rightarrow \,\,(\overrightarrow {A{A’}} + \overrightarrow {B{B’}} ).\,\overrightarrow {AC} = 0\)
b) Theo câu a) và \(\overrightarrow {C{C’}} \bot \overrightarrow {AC} \) nên \((\overrightarrow {A{A’}} + \overrightarrow {B{B’}} + \overrightarrow {C{C’}} ).\,\overrightarrow {AC} = 0\) .
c) Đặt \(\overrightarrow u = \overrightarrow {A{A’}} + \overrightarrow {B{B’}} + \overrightarrow {C{C’}} \).
Ta có \(\overrightarrow u .\,\overrightarrow {AC} = 0\,\,\overrightarrow u .\,\overrightarrow {AB} = 0\,\) . Suy ra \(\overrightarrow u = \overrightarrow 0 \) .
d) Ta có
\(\eqalign{
& \overrightarrow {A{B_1}} + \overrightarrow {B{C_1}} + \overrightarrow {C{A_1}}\cr& = \overrightarrow {A{A’}} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {B{B’}} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {C{C’}} + \overrightarrow {CA} \cr
& = \overrightarrow {A{A’}} + \overrightarrow {B{B’}} + \overrightarrow {C{C’}} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow 0 \cr} \)