Bài 11 trang 52 Hình học 10 Nâng cao: Cho hai đường thẳng a và b cắt nhau tại M. Trên a có hai điểm A và B, trên b có hai điểm C và D...

Bài 11. Cho hai đường thẳng $a$ và $b$ cắt nhau tại $M$. Trên $a$ có hai điểm $A$ và $B$, trên $b$ có hai điểm $C$ và $D$ đều khác $M$ sao cho $\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB}  = \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MD} \,\,$. Chứng minh rằng bốn điểm $A, B, C, D$ cùng nằm trên một đường tròn.

Gọi $(O)$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Gọi $D’$ là giao điểm của $b$ với $(O)$ ( ${D’} \ne C$).

Theo giả thiết ta có $\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB}  = \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {M{D’}} \,\,$

$\eqalign{ & \Rightarrow \,\,\overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MD} = \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {M{D’}} \cr & \Rightarrow \,\,\overrightarrow {MC} (\overrightarrow {MD} - \overrightarrow {M{D’}} ) = 0 \cr & \Rightarrow \,\,\overrightarrow {MC} .\,\overrightarrow {{D’}D} = 0\,\,\,\, \cr}$

$\Rightarrow \,\overrightarrow {{D’}D}  = 0$  (Do $M, C, D, D’$ cùng thuộc đường thẳng b)

$\Rightarrow D \equiv {D’}$.

Vậy bốn điểm $A, B, C, D$ cùng nằm trên một đường tròn.