Bài 12 trang 52 Hình học 10 Nâng cao: Cho đoạn thẳng AB cố định, AB = 2a...

Bài 12. Cho đoạn thẳng $AB$ cố định, $AB = 2a$ và một số ${k^2}$. Tìm tập hợp các điểm $M$ sao cho $M{A^2} - M{B^2} = {k^2}$.

Gọi $O$ là trung điểm đoạn $AB, H$ là hình chiếu của $M$ lên $AB$. Ta có

$\eqalign{ & M{A^2} - M{B^2} = {k^2}\,\,\, \Leftrightarrow \,\,{\overrightarrow {MA} ^2} - {\overrightarrow {MB} ^2} = {k^2} \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow (\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} ).\,(\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} ) = {k^2} \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow 2\overrightarrow {MO} .\,\overrightarrow {BA} = {k^2}\, \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow 2\left( {\overrightarrow {MH} + \overrightarrow {HO} } \right).\overrightarrow {BA} \cr & .\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow 2\overrightarrow {HO} .\,\overrightarrow {BA} = {k^2} \cr}$

( Vì $\overrightarrow {MH} .\overrightarrow {BA}  = \overrightarrow 0$)

Suy ra $H$ cố định nằm trên tia $OB$ và $OH = {{{k^2}} \over {4a}}$.

 Do $H$ là hình chiếu của $M$ lên $AB$ nên tập hợp các điểm $M$ là đường thẳng vuông góc với $AB$ tại $H, H$ nằm trên tia  $OB$ sao cho $OH = {{{k^2}} \over {4a}}$.