Bài 13 trang 52 Hình học 10 Nâng cao: Trong mặt phẳng tọa độ...

Bài 13. Trong mặt phẳng tọa độ, cho $\overrightarrow u  = {1 \over 2}\overrightarrow i  - 5\overrightarrow j$ và $\overrightarrow v  = k\overrightarrow i  - 4\overrightarrow j$.

a) Tìm các giá trị của $k$ để $\overrightarrow u  \bot \overrightarrow v$;

b) Tìm các giá trị của $k$ để $\left| {\overrightarrow u } \right| = \left| {\overrightarrow v } \right|$.

Ta có $\overrightarrow u  = ({1 \over 2}\,;\, - 5)\,;\,\,\,\overrightarrow v  = (k\,;\, - 4)\,$.

a) $\overrightarrow u  \bot \overrightarrow v \,\, \Leftrightarrow \,\,\overrightarrow u .\,\overrightarrow v  = 0\,\, \Leftrightarrow \,\,{1 \over 2}.k + ( - 5).( - 4) = 0\,\, \Leftrightarrow \,\,k =  - 40.$

b) $\left| {\overrightarrow u } \right| = \left| {\overrightarrow v } \right|\,\, \Leftrightarrow \,\,\sqrt {{1 \over 4} + 25}  = \sqrt {{k^2} + 16} \,\, \Leftrightarrow \,\,{{101} \over 4} = {k^2} + 16\,\, \Leftrightarrow \,\,k =  \pm {{\sqrt {37} } \over 2}$