Bài 14. Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác ABC có các đỉnh A(−4;1),B(2;4),C(2;−2).
a) Tính chu vi và diện tích của tam giác đó.
b) Tìm tọa độ của trọng tâm G, trực tâm H và tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Từ đó hãy kiểm tra tính chất thẳng hàng của ba điểm I,G,H.
a) Ta có →AB=(6;3)→AC=(6;−3)→BC=(0;−6). Suy ra
AB=√62+32=√45=3√5AC=√62+(−3)2=√45=3√5BC=√02+(−6)2=√36=6
Tam giác ABC cân tại A.
Chu vi tam giác ABC là 3√5+3√5+6=6√5+6.
Gọi M là trung điểm của BC thì AM là đường cao của ta giác ABC.
Ta có M(2;1)→AM=(6;0)⇒AM=√62+0=6.
Diện tích tam giác ABC là
SABC=12BC.AM=12.6.6=18
Advertisements (Quảng cáo)
b) Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là
{xG=13(xA+xB+xC)=13(−4+2+2)=0yG=13(yA+yB+yC)=13(1+4−2)=1
Vậy G(0;1).
Gọi H(xHyH) là trực tâm tam giác ABC. Ta có
{→AH.→BC=0→BH.→AC=0⇔{(xH+4).0+(yH−1).(−6)=0(xH−2).6+(yH−4).(−3)=0⇔{xH=12yH=1
Vậy H(12;1).
Gọi I(xIyI) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Ta có
{AI2=BI2AI2=CI2⇔{(xI+4)2+(yI−1)2=(xI−2)2+(yI−4)2(xI+4)2+(yI−1)2=(xI−2)2+(yI+2)2⇔{xI2+8xI+16+yI2−2yI+1=xI2−4xI+4+yI2−8yI+16xI2+8xI+16+yI2−2yI+1=xI2−4xI+4+yI2+4yI+4⇔{4xI+2yI=14xI−2yI=−3⇔{xI=−14yI=1
Vậy I(−14;1).
Khi đó, ta có →IG=(14;0)→IH=(34;0).
Do đó →IG=13→IH ,
Suy ra I,G,H thẳng hàng.