Trang chủ Lớp 10 Toán lớp 10 Nâng cao Bài 23 trang 201 Đại số 10 Nâng cao: Chứng minh các...

Bài 23 trang 201 Đại số 10 Nâng cao: Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào α...

Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào α. Bài 23 trang 201 SGK Đại số 10 Nâng cao – Bài 2: Giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác

Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào α

a) \(\sqrt {{{\sin }^4}\alpha  + 4(1 – {{\sin }^2}\alpha )}  + \sqrt {{{\cos }^4}\alpha  + 4{{\sin }^2}\alpha } \)

b) \(2(si{n^6}\alpha {\rm{ }} + {\rm{ }}co{s^6}\alpha {\rm{ }}){\rm{ }}-{\rm{ }}3(co{s^4}\alpha {\rm{ }} + {\rm{ }}si{n^4}\alpha {\rm{ }})\)

c) \({2 \over {\tan \alpha  – 1}} + {{\cot \alpha  + 1} \over {\cot \alpha  – 1}}\,\,\,\,(\tan \alpha  \ne 1)\)

Đáp án

a) Ta có:

\(\eqalign{
& \sqrt {{{\sin }^4}\alpha + 4(1 – {{\sin }^2}\alpha )} = \sqrt {{{(2 – {{\sin }^2}\alpha )}^2}} \cr
& = 2 – {\sin ^2}\alpha \,\,\,\,\,\,\,\,\,({\sin ^2}\alpha \le 1) \cr
& \sqrt {{{\cos }^4}\alpha + 4(1 – {{\cos }^2})} = \sqrt {{{(2 – {{\cos }^2}\alpha )}^2}} \cr
& = 2 – {\cos ^2}\alpha \,\,\,\,\,\,\,\,(co{s^2}\alpha \le1) \cr} \)

Vậy \(\sqrt {{{\sin }^4}\alpha  + 4(1 – {{\sin }^2}\alpha )}  + \sqrt {{{\cos }^4}\alpha  + 4{{\sin }^2}\alpha } \)

Quảng cáo

\(= {\rm{ }}4{\rm{ }}-{\rm{ }}si{n^2}\alpha {\rm{ }}-{\rm{ }}co{s^2}\alpha {\rm{ }} = {\rm{ }}4{\rm{ }}-{\rm{ }}1 = {\rm{ }}3\)

b) Ta có:

\(si{n^6}\alpha {\rm{ }} + {\rm{ }}co{s^6}\alpha \) 

\( = {\rm{ }}(si{n^2}\alpha {\rm{ }} + {\rm{ }}co{s^2}\alpha ){\rm{ }}-{\rm{ }}3si{n^2}\alpha co{s^2}\alpha {\rm{ }}(si{n^2}\alpha {\rm{ }} + {\rm{ }}co{s^2}\alpha )\)

\( = {\rm{ }}1{\rm{ }}-{\rm{ }}3si{n^2}\alpha {\rm{ }}co{s^2}\alpha \)

\(co{s^4}\alpha {\rm{ }} + {\rm{ }}si{n^4}\alpha {\rm{ }} = {\rm{ }}{(co{s^2}\alpha {\rm{ }} + {\rm{ }}si{n^2}\alpha )^2}-{\rm{ }}2si{n^2}\alpha {\rm{ }}co{s^2}\alpha \)

\( = {\rm{ }}1{\rm{ }} – {\rm{ }}2si{n^2}\alpha {\rm{ }}co{s^2}\alpha \)

Suy ra: 

\(\eqalign{
& 2\left( {{{\sin }^6}\alpha + {{\cos }^6}\alpha } \right) – 3({\cos ^4}\alpha + {\sin ^4}\alpha ) \cr
& = 2 – 6{\sin ^2}\alpha {\cos ^2}\alpha – 3(1 – 2{\sin ^2}\alpha {\cos ^2}\alpha ) \cr
& = 2 – 3 = – 1 \cr} \)

c) Ta có:

\(\eqalign{
& {2 \over {\tan \alpha – 1}} + {{\cot \alpha + 1} \over {\cot \alpha – 1}}\,\,\,\, \cr&= {2 \over {{1 \over {\cot \alpha }} – 1}} + {{\cos \alpha + 1} \over {\cot \alpha – 1}} \cr
& = {{2\cot \alpha } \over {1 – \cot \alpha }} + {{\cot \alpha + 1} \over {\cot \alpha – 1}} = {{\cot \alpha – 1} \over {1 – \cot \alpha }} = – 1 \cr} \)

Quảng cáo