Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc hypebol đến hai đường tiệm cận của nó là một số không đổi.
Giả sử (H) có phương trình chính tắc là: \({{{x^2}} \over {{a^2}}} + {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1\)
Phương trình tiệm cận của (H) là: \({d_1}:y = {b \over a}x \Leftrightarrow bx - ay = 0\)
Advertisements (Quảng cáo)
\({d_2}:y = - {b \over a}x \Leftrightarrow bx + ay = 0\)
Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in (H)\) ta có: \({{x_0^2} \over {{a^2}}} - {{y_0^2} \over {{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow {b^2}x_0^2 - {a^2}y_0^2 = {a^2}{b^2}\)
Ta có: \(d\left( {M,{d_1}} \right).d\left( {M,{d_2}} \right) = {{|b{x_0} - a{y_0}|} \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}.{{|b{x_0} + a{y_0}|} \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \)
\(= {{|{b^2}x_0^2 - {a^2}y_0^2|} \over {{a^2} + {b^2}}} = {{{a^2}{b^2}} \over {{a^2} + {b^2}}}\) không đổi