Trang chủ Lớp 10 Toán lớp 10 Nâng cao Bài 40 trang 109 SGK Hình học 10 Nâng cao, Chứng minh...

Bài 40 trang 109 SGK Hình học 10 Nâng cao, Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc hypebol đến hai đường tiệm cận của...

Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc hypebol đến hai đường tiệm cận của nó là một số không đổi.. Bài 40 trang 109 SGK Hình học 10 Nâng cao – Bài 6. Đường hypebol

Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc hypebol đến hai đường tiệm cận của nó là một số không đổi.

Giả sử (H) có phương trình chính tắc là: \({{{x^2}} \over {{a^2}}} + {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1\)

Quảng cáo

Phương trình tiệm cận của (H) là: \({d_1}:y = {b \over a}x \Leftrightarrow bx – ay = 0\)

\({d_2}:y =  – {b \over a}x \Leftrightarrow bx + ay = 0\)                                                     

Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in (H)\) ta có: \({{x_0^2} \over {{a^2}}} – {{y_0^2} \over {{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow {b^2}x_0^2 – {a^2}y_0^2 = {a^2}{b^2}\)

Ta có: \(d\left( {M,{d_1}} \right).d\left( {M,{d_2}} \right) = {{|b{x_0} – a{y_0}|} \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}.{{|b{x_0} + a{y_0}|} \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \)

\(= {{|{b^2}x_0^2 – {a^2}y_0^2|} \over {{a^2} + {b^2}}} = {{{a^2}{b^2}} \over {{a^2} + {b^2}}}\) không đổi

Quảng cáo