Bài 82 trang 116 SBT Hình 10 nâng cao: (h.117)....

Cho đường tròn $(C)$ có phương trình ${x^2} + {y^2} = 1$. Đường tròn $(C)$ cắt $Ox$ tại $A(-1 ; 0)$ và $B(1 ; 0)$. Đường thẳng $d$ có phương trình $x = m ( - 1 < m < 1, m \ne 0)$ cắt $(C)$ tại $M$ và $N$. Đường thẳng $AM$ cắt đường thẳng $BN$ tại $K$. Tìm tập hợp các điểm $K$ khi $m$ thay đổi.

(h.117).

Giả sử $M = ({x_0} ; {y_0})$, suy ra $N = ({x_0} ;  - {y_0})$. Do $- 1 < m < 1,  m \ne 0$ nên $- 1 < {x_0}, {y_0} < 1, {x_0} \ne 0,  {y_0} \ne 0$. Ta có:

Phương trình đường thẳng $AM:  \dfrac{{x + 1}}{{{x_0} + 1}} =  \dfrac{y}{{{y_0}}}$        (1)

Phương trình đường thẳng $BN:  \dfrac{{x - 1}}{{{x_0} - 1}} =  \dfrac{y}{{ - {y_0}}}$         (2)

Tọa độ $(x ; y)$ của $K$ thỏa mãn (1) và (2). Nhân từng vế của (1) và (2) với nhau, ta được : $\dfrac{{{x^2} - 1}}{{x_0^2 - 1}} =  \dfrac{{{y^2}}}{{ - y_0^2}}$. Vì $M \in (C)$ nên $x_0^2 + y_0^2 = 1$, suy ra $x_0^2 - 1 =  - y_0^2$. Do đó ${x^2} - 1 = {y^2}$ hay ${x^2} - {y^2} = 1$. Tập hợp các điểm $K$ là hypebol $\dfrac{{{x^2}}}{1} -  \dfrac{{{y^2}}}{1} = 1$ bỏ đi hai đỉnh : $(-1 ; 0)$ và $(1 ; 0).$