Advertisements (Quảng cáo)
Cho hypebol \((H): { \dfrac{x}{4}^2} – \dfrac{{{y^2}}}{5} = 1\) và đường thẳng \(\Delta : x – y + 4 = 0\).
a) Chứng minh rằng \(\Delta \) luôn cắt \((H)\) tại hai điểm \(M, N\) thuộc hai nhánh khác nhau của \((H) (x_M < x_N);\)
b) Gọi \(F_1\) là tiêu điểm trái và \(F_2\) là tiêu điểm phải cả \((H)\). Xác định \(m\) để \(F_2N=2F_1M.\)
a) \((H): \dfrac{{{x^2}}}{4} – \dfrac{{{y^2}}}{5}\)
\(= 1 \Leftrightarrow 5{x^2} – 4{y^2} – 20 = 0\).
\({a^2} = 4 \Rightarrow a = 2 , \) \( {b^2} = 5 \Rightarrow b = \sqrt {5 } ,\) \( {c^2} = {b^2} + {a^2} = 9 \Rightarrow c = 3\).
\((H)\) có hai nhánh : nhánh trái ứng với \(x \le – 2\), nhánh phải ứng với \(x \ge 2\). Hoành độ giao điểm của \((H)\) và \(\Delta \) là nghiệm của phương trình :
\(5{x^2} – 4{(x + m)^2} – 20 = 0\) hay \({x^2} – 8mx – 4({m^2} + 5) = 0\). (1)
Phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt trái dấu với mọi \(m\). Do đó \(\Delta \) luôn cắt \((H)\) tại hai điểm \(M\) và \(N\) thuộc hai nhánh khác nhau.
Advertisements (Quảng cáo)
Theo giả thiết \(x_M < x_N\) nên \(M\) thuộc nhánh trái, \(N\) thuộc nhánh phải.
b) \((H)\) có các tiêu điểm \({F_1}( – 3 ; 0) , {F_2}(3 ; 0)\).
\(\begin{array}{l}{F_2}N = \left| {a – \dfrac{c}{a}{x_N}} \right| = \left| {2 – \dfrac{3}{2}{x_N}} \right| \\= \dfrac{3}{2}{x_N} – 2 ({x_N} \ge 2)\\{F_1}M = \left| {a + \dfrac{c}{a}{x_M}} \right| = \left| {2 + \dfrac{3}{2}{x_M}} \right|\\ = – \dfrac{3}{2}{x_M} – 2 ({x_M} \le – 2)\\{F_2}N = 2{F_1}M \\ \Leftrightarrow \dfrac{3}{2}{x_N} – 2 = 2\left( { – \dfrac{3}{2}{x_M} – 2} \right) \\ \Leftrightarrow 3{x_N} + 6{x_M} + 4 = 0 (2)\end{array}\)
\({x_M}, {x_N}\) là nghiệm của (1) nên \(\left\{ \begin{array}{l}{x_M} + {x_N} = 8m \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3) \\{x_M}.{x_N} = – 4({m^2} + 5)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(4)\end{array} \right.\)
Giải (2) và (3) ta được: \({x_M} = – \dfrac{4}{3} – 8m ,\) \( {x_N} = \dfrac{4}{3} + 16m\). Thay \({x_M}, {x_N}\) vào (4) ta có
\(\begin{array}{l}\left( { – \dfrac{4}{3} – 8m} \right)\left( { \dfrac{4}{3} + 16m} \right)\\ = – 4({m^2} + 5) \\ \Leftrightarrow 279{m^2} + 72m – 41 = 0\\ \Leftrightarrow m = \dfrac{{ – 12 \pm \sqrt {1415} }}{{93}} .\end{array}\)
Vậy với \(m = \dfrac{{ – 12 \pm \sqrt {1415} }}{{93}}\) thì \({F_2}N = 2{F_1}M\).