Cho hypebol (H):x42−y25=1 và đường thẳng Δ:x−y+4=0.
a) Chứng minh rằng Δ luôn cắt (H) tại hai điểm M,N thuộc hai nhánh khác nhau của (H)(xM<xN);
b) Gọi F1 là tiêu điểm trái và F2 là tiêu điểm phải cả (H). Xác định m để F2N=2F1M.
a) (H):x24−y25
=1⇔5x2−4y2−20=0.
a2=4⇒a=2, b2=5⇒b=√5, c2=b2+a2=9⇒c=3.
(H) có hai nhánh : nhánh trái ứng với x≤−2, nhánh phải ứng với x≥2. Hoành độ giao điểm của (H) và Δ là nghiệm của phương trình :
5x2−4(x+m)2−20=0 hay x2−8mx−4(m2+5)=0. (1)
Advertisements (Quảng cáo)
Phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt trái dấu với mọi m. Do đó Δ luôn cắt (H) tại hai điểm M và N thuộc hai nhánh khác nhau.
Theo giả thiết xM<xN nên M thuộc nhánh trái, N thuộc nhánh phải.
b) (H) có các tiêu điểm F1(−3;0),F2(3;0).
F2N=|a−caxN|=|2−32xN|=32xN−2(xN≥2)F1M=|a+caxM|=|2+32xM|=−32xM−2(xM≤−2)F2N=2F1M⇔32xN−2=2(−32xM−2)⇔3xN+6xM+4=0(2)
xM,xN là nghiệm của (1) nên {xM+xN=8m(3)xM.xN=−4(m2+5)(4)
Giải (2) và (3) ta được: xM=−43−8m, xN=43+16m. Thay xM,xN vào (4) ta có
(−43−8m)(43+16m)=−4(m2+5)⇔279m2+72m−41=0⇔m=−12±√141593.
Vậy với m=−12±√141593 thì F2N=2F1M.