Bài 83 trang 116 SBT Hình học 10 Nâng cao: (h.118)....

Cho hypebol $(H):  \dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} -  \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$. Một đường thẳng $\Delta$ cắt $(H)$ tại $P, Q$ và hai đường tiệm cận ở $M$ và $N$. Chứng minh rằng

a) $MP=NQ ;$

b) Nếu $\Delta$ có phương không đổi thì tích $\overline {PM} .\overline {PN}$là hằng số.

Giải

(h.118).

a) Phương trình $(H) : \dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} -  \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$.

Phương trình chung của các đường tiệm cận $d_1, d_2$ là $\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} -  \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 0$.

Gọi phương trình của $\Delta$ là: $\alpha x + \beta y + \gamma  = 0   ({\alpha ^2} + {\beta ^2} \ne 0)$.

Giả sử $\beta  \ne 0$ , khi đó, do vế trái của phương trình $(H)$ và phương trình các đường tiệm cận giống nhau nên:

- Hoành độ các giao điểm $P$ và $Q$ của $\Delta$ và $(H)$ là nghiệm của phương trình dạng:

$a{x^2} + bx + c = 0$.

- Hoành độ các giao điểm $M$ và $N$ của $\Delta$ và các tiệm cận là nghiệm của phương trình dạng:

$a{x^2} + bx + d = 0$.

Gọi $I, J$ lần lượt là trung điểm của $PQ$ và $MN,$ thì ta có: ${x_I} = {x_J} =  -  \dfrac{b}{{2a}}$. Suy ra $I$ trùng với $J$. Vậy $MP=NQ.$

Nếu $\beta  = 0$ thì $\Delta$ là đường thẳng vuông góc với $Ox$. Vì $(H)$ và hai đường tiệm cận đều nhận $Ox$ làm trục đối xứng nên dễ có $MP=NQ.$

b) Gọi $\overrightarrow u (m ; n)  ({m^2} + {n^2} \ne 0)$ là vec tơ chỉ phương của $\Delta$ và kí hiệu $P = ({x_0} ; {y_0})$. Khi đó tồn tại các số $t_1, t_2$ sao cho $\overrightarrow {PM}  = {\kern 1pt} {t_1}\overrightarrow u  ,  \overrightarrow {PN}  = {t_2}\overrightarrow u$.

Ta có tọa độ của $M$ và $N$ là $\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = {x_0} + {t_1}m\\{y_M} = {y_0} + {t_1}n\end{array} \right.  ,   \left\{ \begin{array}{l}{x_N} = {x_0} + {t_2}m\\{y_N} = {y_0} + {t_2}n.\end{array} \right.$

$M , N$ thuộc hai tiệm cận của $(H)$ nên $t_1, t_2$ là nghiệm của phương trình:

$\dfrac{{{{({x_0} + tm)}^2}}}{{{a^2}}} -  \dfrac{{{{({y_0} + tn)}^2}}}{{{b^2}}} = 0$ hay $\left( { \dfrac{{{m^2}}}{{{a^2}}} -  \dfrac{{{n^2}}}{{{b^2}}}} \right){t^2} + 2\left( { \dfrac{{{x_0}m}}{{{a^2}}} -  \dfrac{{{y_0}n}}{{{b^2}}}} \right)t + 1 = 0.$

Rõ ràng $\dfrac{{{m^2}}}{{{a^2}}} -  \dfrac{{{n^2}}}{{{b^2}}} \ne 0$.

Do đó ${t_1}.{t_2} =  \dfrac{1}{{ \dfrac{{{m^2}}}{{{a^2}}} -  \dfrac{{{n^2}}}{{{b^2}}}}} =  \dfrac{{{a^2}{b^2}}}{{{m^2}{b^2} - {n^2}{a^2}}}$.

Vậy $\overline {PM} .\overline {PN}  = \overrightarrow {PM} .\overrightarrow {PN}$

$= {t_1}.{t_2}.{\overrightarrow u ^2} =  \dfrac{{{a^2}{b^2}}}{{{m^2}{b^2} - {n^2}{a^2}}}.({m^2} + {n^2})$ không đổi.