Bài 79 trang 116 SBT Hình học 19 Nâng cao: Có tọa độ nguyên....

Tìm các điểm trên hypebol $(H): 4{x^2} - {y^2} - 4 = 0$ thỏa mãn

a)  Nhìn hai tiêu điểm dưới góc vuông;

b) Nhìn hai tiêu điểm dưới góc $120^0;$

c) Có tọa độ nguyên.

Viết lại phương trình của $(H):  \dfrac{{{x^2}}}{1} -  \dfrac{{{y^2}}}{4} = 1$.

${a^2} = 1   \Rightarrow a = 1  ,$ ${b^2} = 4   \Rightarrow   b = 2 ,$ ${c^2} = {a^2} + {b^2} = 5   \Rightarrow c = \sqrt 5  ,$ $e =  \dfrac{c}{a} = \sqrt 5$.

$(H)$ có các tiêu điểm : ${F_1}( - \sqrt 5  ; 0) ,$ ${F_2}(\sqrt 5  ; 0)$.

a) Gọi $M(x ; y)$ là điểm cần tìm. Ta có:

$\begin{array}{l}\overrightarrow {{F_1}M}  = \left( {x + \sqrt 5  ; y} \right) , \\ \overrightarrow {{F_2}M}  = \left( {x - \sqrt 5  ; y} \right)\\{F_1}M \bot {F_2}M    \Leftrightarrow   \overrightarrow {{F_1}M} .\overrightarrow {{F_2}M}  = 0\\ \Leftrightarrow   \left( {x + \sqrt 5 } \right)\left( {x - \sqrt 5 } \right) + {y^2} = 0  \\  \Leftrightarrow   {x^2} + {y^2} - 5 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\M \in (H)    \Leftrightarrow 4{x^2} - {y^2} - 4 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2) \end{array}$.

Giải hệ (1) và (2) ta được: $x =  \pm  \dfrac{3}{{\sqrt 5 }} ,  y =  \pm  \dfrac{4}{{\sqrt 5 }}$.

Vậy bốn điểm cần tìm là : $\left( { \pm  \dfrac{3}{{\sqrt 5 }} ;  \pm  \dfrac{4}{{\sqrt 5 }}} \right)$.

b) Gọi $N(x ; y)$ là điểm cần tìm.

$N \in (H)    \Rightarrow |N{F_1} - N{F_2}| = 2a = 2$.

Trong tam giác $F_1NF_2$, ta có

$\begin{array}{l}{F_1}{F_2}^2 = {F_1}{N^2} + {F_2}{N^2}\\ - 2.{F_1}N.{F_2}N.\cos \widehat {{F_1}N{F_2}}\\ = {({F_1}N - {F_2}N)^2} + 2.{F_1}N.{F_2}N\\ - 2{F_1}N.{F_2}N.\cos {120^0}\\= 4 + 3{F_1}N.{F_2}N\\ = 4 + 3.|a + ex|.|a - ex|\\= 4 + 3|{a^2} - {e^2}{x^2}|\\ \Rightarrow 4{c^2} = 4 + 3|1 - 5{x^2}|\\ \Leftrightarrow 4.5 = 4 + 3|1 - 5{x^2}|\\ \Leftrightarrow |1 - 5{x^2}| =  \dfrac{{16}}{3} \\    \Leftrightarrow   {x^2} =  \dfrac{{19}}{{15}}   \Leftrightarrow    x =  \pm \sqrt { \dfrac{{19}}{{15}}} \end{array}$

Thay $x =  \pm \sqrt { \dfrac{{19}}{{15}}}$ vào phương trình của (H), ta được $y =  \pm  \dfrac{4}{{\sqrt {15} }}$.

Vậy có bốn điểm cần tìm là: $\left( { \pm \sqrt { \dfrac{{19}}{{15}}}  ;  \pm  \dfrac{4}{{\sqrt {15} }}} \right)$.

c) Do $(H)$ nhận $Ox, Oy$ là các trục đối xứng, nên ta chỉ xét những điểm $(x ; y)$ của $(H)$ mà : $x. y$ nguyên, $x \ge 0 ,  y \ge 0$, rồi sau đó ta tìm những điểm đối xứng với những điểm này qua trục $Ox$ và $Oy.$

Ta có

$4{x^2} - {y^2} - 4 = 0$

$\Leftrightarrow   (2x - y)(2x + y) = 4$   (1).

Do $2x-y,  2x+y$ nguyên, $2x + y \ge 0$ và $2x + y \ge 2x - y$, nên từ (1)  ta có các trường hợp :

$\left\{ \begin{array}{l}2x - y = 1\\2x + y = 4\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)    , \\    \left\{ \begin{array}{l}2x - y = 2\\2x + y = 2\end{array} \right. \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3)$

Hệ (2) không có nghiệm nguyên, hệ (3) có một nghiệm nguyên là $\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 0\end{array} \right.$.

Vậy những điểm trên $(H)$ có tọa độ nguyên là : $(1 ; 0), (-1 ; 0).$