Bài 78 trang 115 SBT Hình 10 nâng cao: Khi đó :...

Cho hai điểm $A(-1 ; 0), B(1 ; 0)$ và đường thẳng $\Delta : x -  \dfrac{1}{4} = 0$.

a) Tìm tập hợp các điểm $M$ sao cho $MB=2MH,$ với $H$ là hình chiếu vuông góc của $M$ trên$\Delta$.

b) Tìm tập hợp các điểm $N$ sao cho các đường thẳng $AN$ và $BN$ có tích các hệ số góc bằng $2.$

a) Xét $M(x ; y).$ Ta có

$\begin{array}{l}MB = 2MH    \Leftrightarrow   M{B^2} = 4M{H^2}  \\  \Leftrightarrow  {(x - 1)^2} + {y^2} = 4{\left( {x -  \dfrac{1}{4}} \right)^2}\\\Leftrightarrow   3{x^2} - {y^2} =  \dfrac{3}{4}   \\ \Leftrightarrow     \dfrac{{{x^2}}}{{ \dfrac{1}{4}}} -  \dfrac{{{y^2}}}{{ \dfrac{3}{4}}} = 1.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\end{array}$

Tập hợp các điểm $M$ cần tìm là hypebol có phương trình (1).

b) Xét $N(x ; y)$ thì $\overrightarrow {AN}  = (x + 1 ; y),  \overrightarrow {BN}  = (x - 1 ; y)$. Rõ ràng $x \ne  - 1$ và $x \ne 1$ (vì nếu không thì các đường thẳng $AN$ và $BN$ lần lượt có hệ số góc ${k_1} =  \dfrac{y}{{x + 1}},  {k_2} =  \dfrac{y}{{x - 1}}$.

Khi đó :

${k_1}.{k_2} = 2    \Leftrightarrow     \dfrac{y}{{x + 1}}. \dfrac{y}{{x - 1}} = 2$

$\Leftrightarrow     \dfrac{{{y^2}}}{{{x^2} - 1}} = 2    \Leftrightarrow    {y^2} = 2{x^2} - 2$

$\Leftrightarrow    \dfrac{{{x^2}}}{1} -  \dfrac{{{y^2}}}{2} = 1$         (2)

Tập hợp các điểm $N$ cần tìm là hypebol có phương trình (2) bỏ đi hai đỉnh : $(-1 ; 0)$ và $(1 ; 0).$