Bài 50 trang 215 Đại số 10 Nâng cao: Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có 3 góc thỏa:...

Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có 3 góc thỏa:

a) $sinA = cosB + cosC$ thì ΔABC vuông

b) $sinA = 2sinB.cosC$ thì ΔABC cân

Đáp án

a) Ta có:

$\eqalign{ & sinA = cosB + cosC\cr& \Rightarrow \sin A = 2\cos {{B + C} \over 2}\cos {{B - C} \over 2} \cr & \Leftrightarrow 2\sin {A \over 2}(cos{A \over 2} - \cos {{B - C} \over 2}) = 0 \cr & \Leftrightarrow \cos {A \over 2} = \cos {{B - C} \over 2}\;(\sin{A \over 2} \ne 0\,do\,0 < A < \pi ) \cr}$

Nhưng: $0 < {A \over 2} < {\pi  \over 2};|{{B - C} \over 2}|\, < {\pi  \over 2}$ , nên:

$\cos {A \over 2} = \cos {{B - C} \over 2} \Leftrightarrow {A \over 2} = |{{B - C} \over 2}|\, \Leftrightarrow A = |B - C|$

+ Nếu B > C thì A = B – C. Suy ra: $S = {\pi  \over 2}$

+ Nếu B < C thì A = C – B. Suy ra: $C = {\pi  \over 2}$

b) $sinA = 2sinB.cosC$

$⇔ sin A = sin (B + C) + sin (B – C)$

$⇔ sin A = sin(π – A) + sin(B – C)$

$⇔ sin(B – C) = 0$

Vì $0 ≤ |B – C| ≤ π$, nên $B – C = 0$

Vậy tam giác ABC cân tại A.