Bài 49 trang 215 Đại số 10 Nâng cao: Chứng minh rằng giá trị của mỗi biểu thức sau không phụ thuộc vào x...

Chứng minh rằng giá trị của mỗi biểu thức sau không phụ thuộc vào x

a) $co{s^2}\left( {\alpha {\rm{ }} + x} \right){\rm{ }} + {\rm{ }}co{s^2}x{\rm{ }} - {\rm{ }}2cos\alpha {\rm{ }}cosx.cos\left( {\alpha {\rm{ }} + x} \right);$

b) $sin4x.sin10x - sin11x.sin3x - sin7x.sinx$

Đáp án

a) Ta có:

$\eqalign{ & co{s^2}\left( {\alpha + x} \right) + co{s^2}x - 2cos\alpha {\rm{ }}cosx.cos\left( {\alpha + x} \right) \cr & = \cos (\alpha + x){\rm{[}}\cos (\alpha + x) - 2\cos \alpha \cos x {\rm{] + co}}{{\rm{s}}^2}x \cr & = \cos (\alpha + x)( - \cos \alpha \cos x- \sin \alpha \sin x ) + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x \cr & = - \cos (\alpha + x)cos(\alpha - x) + {\cos ^2}x \cr & = - {1 \over 2}(cos2\alpha + \cos 2x) + {\cos ^2}x \cr & = - {1 \over 2}\cos 2\alpha - {{\cos 2x} \over 2} + {\cos ^2}x = - {1 \over 2}\cos 2\alpha + {1 \over 2} \cr & = {\sin ^2}\alpha \cr}$

Vậy biểu thức trên không phụ thuộc vào x.

b) Ta có:

$\eqalign{ & sin4x.sin10x - sin11x.sin3x - sin7x.sinx \cr & = {1 \over 2}(cos6x - \cos 14x) - {1 \over 2}(cos8x - \cos 14x) \cr&- {1 \over 2}(cos6x - \cos 8x) \cr & = 0 \cr}$

Vậy biểu thức trên không phụ thuộc vào x.

baitapsgk.com