Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thỏa mãn điều kiện:
a) sinA=cosB+cosCsinB+sinC thì tam giác ABC là tam giác vuông;
b) sinAsinB=cosB+cosCcosC+cosA thì tam giác ABC là một tam giác vuông hoặc một tam giác cân.
a) Vì sinA=2sinA2cosA2 và
cosB+cosCsinB+sinC=2cosB+C2cosB−C22sinB+C2cosB−C2=cos(π2−A2)sin(π2−A2)=sinA2cosA2
nên dễ thấy
Advertisements (Quảng cáo)
sinA=cosB+cosCsinB+sinC⇔2cos2A2=1⇔cosA=0
⇔ˆA là góc vuông.
b) Cách 1
sinAsinB=cosB+cosCcosC+cosA⇔sinA2cosA2sinB2cosB2=sinA2cosB−C2sinB2cosC−A2⇔cosA2cosC−A2=cosB2cosB−C2⇔cosC2+cos(A−C2)=cos(B−C2)+cosC2⇔cos(A−C2)=cos(B−C2)⇔|A−C2|=|B−C2|⇔[ˆA=ˆBˆA+ˆB=ˆC.
Cách 2
\begin{array}{l}\dfrac{{\sin A}}{{\sin B}} = \dfrac{{\cos B + \cos C}}{{\cos C + \cos A}}\\ \Leftrightarrow \sin A\cos A - \sin B\cos B\\ = \cos C\left( {\sin B - \sin A} \right)\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\left( {\sin 2A - \sin 2B} \right)\\ = \cos C\left( {\sin B - \sin A} \right)\\ \Leftrightarrow \cos \left( {A + B} \right)\sin \left( {A - B} \right)\\ = 2\cos C\cos \dfrac{{B + A}}{2}\sin \dfrac{{B - A}}{2}\\ \Leftrightarrow - \cos C\sin \dfrac{{A - B}}{2}\cos \dfrac{{A - B}}{2}\\ = - \cos C\sin \dfrac{{A - B}}{2}\cos \dfrac{{A + B}}{2}\\ \Leftrightarrow \cos C\sin \dfrac{{A - B}}{2}\left( {\cos \dfrac{{A + B}}{2} - \cos \dfrac{{A - B}}{2}} \right)\\ = 0\\ \Leftrightarrow \cos C\sin \dfrac{A}{2}\sin \dfrac{B}{2}\sin \dfrac{{A - B}}{2} = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos C = 0\\\sin \dfrac{{A - B}}{2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\widehat C\,\,vuông\\\widehat A = \widehat B\end{array} \right.\end{array}