Câu 6.57 trang 206 Sách BT Đại số 10 Nâng cao: Xét các biểu thức...

Xét các biểu thức

$\begin{array}{l}S = \sin \alpha  + sin2\alpha  + sin3\alpha  +  \ldots  + \sin n\alpha ,\\T = 1 + \cos \alpha  + \cos 2\alpha  + \cos 3\alpha  +  \ldots cosn\alpha \end{array}$

($n$ là một số nguyên dương)

Chứng minh

a) $S\sin \dfrac{\alpha }{2} = \sin \dfrac{{n\alpha }}{2}\sin \dfrac{{\left( {n + 1} \right)\alpha }}{2}$

b) $T\sin \dfrac{\alpha }{2} = \cos \dfrac{{n\alpha }}{2}\sin \dfrac{{\left( {n + 1} \right)\alpha }}{2}$

a) Với $k = 1,2,3, \ldots ,n,$ ta có:

$\sin k\alpha \sin \dfrac{\alpha }{2} = \dfrac{1}{2}\left[ {\cos \dfrac{{\left( {2k - 1} \right)\alpha }}{2} - \cos \dfrac{{\left( {2k + 1} \right)\alpha }}{2}} \right]$

Nên

$\begin{array}{l}S.\sin \dfrac{\alpha }{2} = \dfrac{1}{2}\left[ {\left( {\cos \dfrac{\alpha }{2} - \cos \dfrac{{3\alpha }}{2}} \right) + \left( {\cos \dfrac{{3\alpha }}{2} - \cos \dfrac{{5\alpha }}{2}} \right)} \right.\\\left. { +  \ldots  + \left( {\cos \dfrac{{\left( {2n - 1} \right)\alpha }}{2} - \cos \dfrac{{\left( {2n + 1} \right)\alpha }}{2}} \right)} \right]\\ = \dfrac{1}{2}\left[ {\left( {\cos \dfrac{\alpha }{2} - \cos \dfrac{{\left( {2n + 1} \right)\alpha }}{2}} \right)} \right]\\ = \sin \dfrac{{n\alpha }}{2}\sin \dfrac{{\left( {n + 1} \right)\alpha }}{2}\end{array}$

b) Với $k = 1,2,3 \ldots ,n,$ ta có:

$\cos k\alpha \sin \dfrac{\alpha }{2} = \dfrac{1}{2}\left[ {\sin \dfrac{{\left( {2k + 1} \right)\alpha }}{2} - \sin \dfrac{{\left( {2k - 1} \right)\alpha }}{2}} \right]$

nên

$\begin{array}{l}T\sin \dfrac{\alpha }{2} = \sin \dfrac{\alpha }{2} + \dfrac{1}{2}\left[ {\left( {\sin \dfrac{{3\alpha }}{2} - \sin \dfrac{\alpha }{2}} \right) + \left( {\sin \dfrac{{5\alpha }}{2} - \sin \dfrac{{3\alpha }}{2}} \right)} \right.\\\left. { +  \ldots  + \left( {\sin \dfrac{{\left( {2n + 1} \right)\alpha }}{2} - \sin \dfrac{{\left( {2n - 1} \right)\alpha }}{2}} \right)} \right]\\ = \dfrac{1}{2}\left[ {\sin \dfrac{{\left( {2n + 1} \right)\alpha }}{2} + \sin \dfrac{\alpha }{2}} \right]\\ = \cos \dfrac{{n\alpha }}{2}\sin \dfrac{{\left( {n + 2} \right)\alpha }}{2}\end{array}$