Câu 6.58 trang 206 SBT Toán Đại 10 Nâng cao: Chứng minh:...

Chứng minh:

a) $\sin \dfrac{{2\pi }}{7} + \sin \dfrac{{4\pi }}{7} + \sin \dfrac{{6\pi }}{7} = \dfrac{1}{2}\cot \dfrac{\pi }{{14}};$

b) $\cos \dfrac{\pi }{{11}} + \cos \dfrac{{3\pi }}{{11}} + \cos \dfrac{{5\pi }}{{11}} + \cos \dfrac{{7\pi }}{{11}} + \cos \dfrac{{9\pi }}{{11}}$

$= \dfrac{1}{2}$

c) $\cos \dfrac{{2\pi }}{{11}} + \cos \dfrac{{4\pi }}{{11}} + \cos \dfrac{{6\pi }}{{11}} + \cos \dfrac{{8\pi }}{{11}} + \cos \dfrac{{10\pi }}{{11}}$

$=  - \dfrac{1}{2}$

d) $\sin \dfrac{\pi }{{11}} + \sin \dfrac{{2\pi }}{{11}} +  \ldots  + \sin \dfrac{{10\pi }}{{11}} = \cot \dfrac{\pi }{{22}}.$

a) Ta có

$\begin{array}{l}\sin \dfrac{{2\pi }}{7}\sin \dfrac{\pi }{7} = \dfrac{1}{2}\left( {\cos \dfrac{\pi }{7} - \cos \dfrac{{3\pi }}{7}} \right),\\\sin \dfrac{{4\pi }}{7}\sin \dfrac{\pi }{7} = \dfrac{1}{2}\left( {\cos \dfrac{{3\pi }}{7} - \cos \dfrac{{5\pi }}{7}} \right),\\\sin \dfrac{{6\pi }}{7}\sin \dfrac{\pi }{7} = \dfrac{1}{2}\left( {\cos \dfrac{{5\pi }}{7} - \cos \pi } \right)\end{array}$

Từ đó

$\begin{array}{l}\left( {\sin \dfrac{{2\pi }}{7} + \sin \dfrac{{4\pi }}{7} + \sin \dfrac{{6\pi }}{7}} \right)\sin \dfrac{\pi }{7}\\ = \dfrac{1}{2}\left( {1 + \cos \dfrac{\pi }{7}} \right) = {\cos ^2}\dfrac{\pi }{{14}}\end{array}$

Do $\sin \dfrac{\pi }{7} = 2\sin \dfrac{\pi }{{14}}\cos \dfrac{\pi }{{14}},$ ta suy ra

$\sin \dfrac{{2\pi }}{7} + \sin \dfrac{{4\pi }}{7} + \sin \dfrac{{6\pi }}{7} = \dfrac{1}{2}\cot \dfrac{\pi }{{14}}.$

b) Với $k = 1,2,3,4,5$ ta có:

$\cos \dfrac{{\left( {2k - 1} \right)\pi }}{{11}}\sin \dfrac{\pi }{{11}}$

$= \dfrac{1}{2}\left[ {\sin \dfrac{{2k\pi }}{{11}} - \sin \dfrac{{\left( {2k - 2} \right)\pi }}{{11}}} \right]$,

nên nếu gọi B là vế trái của đẳng thức ở câu b) thì

$\begin{array}{l}B\sin \dfrac{\pi }{{11}} \\= \dfrac{1}{2}\left[ {\left( {\sin \dfrac{{2\pi }}{{11}} - \sin 0} \right) + \left( {\sin \dfrac{{4\pi }}{{11}} - \sin \dfrac{{2\pi }}{{11}}} \right)} \right.\\\left. { +  \ldots  + \left( {\sin \dfrac{{10\pi }}{{11}} - \sin \dfrac{{8\pi }}{{11}}} \right)} \right]\\ = \dfrac{1}{2}\sin \dfrac{{10\pi }}{{11}} = \dfrac{1}{2}\sin \dfrac{\pi }{{11}}.\end{array}$

Từ đó $B = \dfrac{1}{2}.$

c) Với $k = 1,2,3,4,5$ ta có

$\cos \dfrac{{2k\pi }}{{11}}\sin \dfrac{\pi }{{11}}$

$= \dfrac{1}{2}\left[ {\sin \dfrac{{\left( {2k + 1} \right)\pi }}{{11}} - \sin \dfrac{{\left( {2k - 1} \right)\pi }}{{11}}} \right]$ nên gọi C là vế trái của đẳng thức câu c) thì

$\begin{array}{l}C\sin \dfrac{\pi }{{11}} \\= \dfrac{1}{2}\left[ {\left( {\sin \dfrac{{3\pi }}{{11}} - \sin \dfrac{\pi }{{11}}} \right) + \left( {\sin \dfrac{{5\pi }}{{11}} - \sin \dfrac{{3\pi }}{{11}}} \right)} \right.\\ +  \ldots  + \left. {\left( {\sin \pi  - \sin \dfrac{{9\pi }}{{11}}} \right)} \right]\\ =  - \dfrac{1}{2}\sin \dfrac{\pi }{{11}}.\end{array}$

Từ đó $C =  - \dfrac{1}{2}.$

d) Gọi D là vế trái của bất đẳng thức câu d thì (ở đây $n = 10,\alpha  = \dfrac{\pi }{{11}}$)

$D\sin \dfrac{\pi }{{22}} = \sin \dfrac{{10\pi }}{{22}}\sin \dfrac{\pi }{2} = \sin \dfrac{{10\pi }}{{22}} = \cos \dfrac{\pi }{{22}}$

Từ đó $D = \cot \dfrac{\pi }{{22}}.$