Chứng minh các bất đẳng thức
a) |a + b| < |1 + ab| với |a| < 1; |b| < 1
b) \({1 \over {n + 1}} + {1 \over {n + 2}} + ..... + {1 \over {2n}} \ge {1 \over 2}\) với mọi n ∈ N*
c) \({{a + b} \over {1 + a + b}} \le {a \over {1 + a}} + {b \over {1 + b}}\) với mọi a ≥ 0; b ≥ 0. Khi nào có đẳng thức?
Đáp án
a) Ta có:
|a + b| < |1 + ab| ⇔ (a + b)2 < (1 + ab)2
⇔ a2b2 – a2 – b2 + 1 > 0 ⇔ a2(b2 – 1) – (b2 – 1) > 0
⇔ (a2 – 1)(b2 – 1) > 0 (luôn đúng vì a2 < 1 và b2 < 1)
Advertisements (Quảng cáo)
Vậy với |a| < 1; |b| < 1 thì |a + b| < |1 + ab|
b) Ta có:
\({1 \over {n + 1}} \ge {1 \over {2n}};\,\,\,{1 \over {n + 2}} \ge {1 \over {2n}};\,\,....;\,\,{1 \over {2n}} = {1 \over {2n}}\)
Do đó:
\({1 \over {n + 1}} + {1 \over {n + 2}} + ..... + {1 \over {2n}} \ge \underbrace {{1 \over {2n}} + {1 \over {2n}} + .... + {1 \over {2n}}}_n \)
\(\Rightarrow {1 \over {n + 1}} + {1 \over {n + 2}} + ..... + {1 \over {2n}} \ge n{1 \over {2n}} = {1 \over 2} \)
Vậy ta được điều phải chứng minh.
c) Vì a ≥ 0; b ≥ 0 nên:
\({{a + b} \over {1 + a + b}} = {a \over {1 + a + b}} + {b \over {1 + a + b}} \le {a \over {1 + a}} + {b \over {1 + b}}\)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = 0