Bài 76 trang 155 SGK Đại số 10 nâng cao, Chứng minh các bất đẳng thức:...

Chứng minh các bất đẳng thức

a) |a + b| < |1 + ab| với |a| < 1; |b| < 1

b) ${1 \over {n + 1}} + {1 \over {n + 2}} + ..... + {1 \over {2n}} \ge {1 \over 2}$ với mọi n ∈ N*

c) ${{a + b} \over {1 + a + b}} \le {a \over {1 + a}} + {b \over {1 + b}}$ với mọi a ≥ 0; b ≥ 0. Khi nào có đẳng thức?

Đáp án

a) Ta có:

 |a + b| < |1 + ab|  ⇔ (a + b)² < (1 + ab)²

⇔ a²b² – a² – b² + 1 > 0 ⇔ a²(b² – 1) – (b² – 1) > 0

⇔ (a² – 1)(b² – 1) > 0  (luôn đúng vì a² < 1 và b² < 1)

Vậy với |a| < 1; |b| < 1 thì |a + b| < |1 + ab|

b) Ta có:

${1 \over {n + 1}} \ge {1 \over {2n}};\,\,\,{1 \over {n + 2}} \ge {1 \over {2n}};\,\,....;\,\,{1 \over {2n}} = {1 \over {2n}}$

Do đó:

${1 \over {n + 1}} + {1 \over {n + 2}} + ..... + {1 \over {2n}} \ge \underbrace {{1 \over {2n}} + {1 \over {2n}} + .... + {1 \over {2n}}}_n$
$\Rightarrow {1 \over {n + 1}} + {1 \over {n + 2}} + ..... + {1 \over {2n}} \ge n{1 \over {2n}} = {1 \over 2}$

Vậy ta được điều phải chứng minh.

c) Vì a ≥ 0; b ≥ 0 nên:

${{a + b} \over {1 + a + b}} = {a \over {1 + a + b}} + {b \over {1 + a + b}} \le {a \over {1 + a}} + {b \over {1 + b}}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = 0