Trang chủ Lớp 10 Toán lớp 10 Nâng cao (sách cũ) Bài 76 trang 155 SGK Đại số 10 nâng cao, Chứng minh...

Bài 76 trang 155 SGK Đại số 10 nâng cao, Chứng minh các bất đẳng thức:...

Chứng minh các bất đẳng thức:. Bài 76 trang 155 SGK Đại số 10 nâng cao - Câu hỏi và bài tập ôn tập chương 4

Chứng minh các bất đẳng thức

a) |a + b| < |1 + ab| với |a| < 1; |b| < 1

b) \({1 \over {n + 1}} + {1 \over {n + 2}} + ..... + {1 \over {2n}} \ge {1 \over 2}\) với mọi n ∈ N*

c) \({{a + b} \over {1 + a + b}} \le {a \over {1 + a}} + {b \over {1 + b}}\) với mọi a ≥ 0; b ≥ 0. Khi nào có đẳng thức?

Đáp án

a) Ta có:

 |a + b| < |1 + ab|  ⇔ (a + b)2 < (1 + ab)2

⇔ a2b2 – a2 – b2 + 1 > 0 ⇔ a2(b2 – 1) – (b2 – 1) > 0

⇔ (a2 – 1)(b2 – 1) > 0  (luôn đúng vì a2 < 1 và b2 < 1)

Advertisements (Quảng cáo)

Vậy với |a| < 1; |b| < 1 thì |a + b| < |1 + ab|

b) Ta có:

\({1 \over {n + 1}} \ge {1 \over {2n}};\,\,\,{1 \over {n + 2}} \ge {1 \over {2n}};\,\,....;\,\,{1 \over {2n}} = {1 \over {2n}}\)

Do đó:

\({1 \over {n + 1}} + {1 \over {n + 2}} + ..... + {1 \over {2n}} \ge \underbrace {{1 \over {2n}} + {1 \over {2n}} + .... + {1 \over {2n}}}_n \)
\(\Rightarrow {1 \over {n + 1}} + {1 \over {n + 2}} + ..... + {1 \over {2n}} \ge n{1 \over {2n}} = {1 \over 2}  \)

Vậy ta được điều phải chứng minh.

c) Vì a ≥ 0; b ≥ 0 nên:

\({{a + b} \over {1 + a + b}} = {a \over {1 + a + b}} + {b \over {1 + a + b}} \le {a \over {1 + a}} + {b \over {1 + b}}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = 0

Bạn đang xem bài tập, chương trình học môn Toán lớp 10 Nâng cao (sách cũ). Vui lòng chọn môn học sách mới cần xem dưới đây:

Advertisements (Quảng cáo)